Um capacitor de placas paralelas possui placas com área igual a 2000 cm^2 e distância entre elas de 1 cm . O Capacitor é ligado a uma fonte e carregado a até 3000 V . A seguir ele é desconectado e uma camada de material plástico isolante é inserido entre as placas do capacitor. Verifica-se que a d.d.p. diminui para 1000 V enquanto a carga permanece constante. Calcule: (e) carga induzida no dielétrico;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com área de 2000 , cm²² e distância entre as placas de 1 cm. Inicialmente, ele é carregado até 3000 V e depois desconectado. Depois disso, inserimos um material plástico isolante entre as placas, e a tensão cai para 1000 V, mas a carga permanece a mesma. Nosso objetivo é calcular a carga induzida no dielétrico. Vamos precisar usar conceitos de capacitância, dielétricos e como eles afetam a carga e a tensão no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A área das placas é 2000 , cm²², que é igual a 2000 times 10^-4 , m² = 0,2 , m²²². A distância entre as placas é 1 cm, que é 0,01 , m.

Passo 3

Sabemos que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico é dada por:
C = varepsilon0 Ad
onde:
  • C é a capacitância,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m),
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Vamos calcular a capacitância inicial:
C = 8,85 times 10^-12 times 0,20,01 = 1,77 times 10^-9 , F , (Farads)

Passo 4

Quando o capacitor é carregado a uma tensão V e depois desconectado, a carga Q nele armazenada é dada por:
Q = C times V
Inicialmente, com V = 3000 , V:
Q = 1,77 times 10^-9 times 3000 = 5,31 times 10^-6 , C

Passo 5

Após inserir o dielétrico, a tensão cai para 1000 , V, mas a carga Q permanece a mesma ( 5,31 times 10^-6 , C). A nova capacitância com o dielétrico é:
C' = QV' = 5,31 times 10^-61000 = 5,31 times 10^-9 , F

Passo 6

A capacitância com dielétrico também pode ser expressa como:
C' = kappa times C
onde kappa é a constante dielétrica do material inserido. Podemos encontrar kappa:
kappa = C'C = 5,31 times 10^-91,77 times 10^-9 = 3

Passo 7

A carga induzida no dielétrico, Qi, está relacionada à constante dielétrica e à carga total:
Qi = Q (1 - 1kappa)
Substituindo os valores:
Qi = 5,31 times 10^-6 (1 - 13) = 5,31 times 10^-6 times 23 = 3,54 times 10^-6 , C

Resposta

A carga induzida no dielétrico é de 3,54 times 10^-6 , C.

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