2,5 Um capacitor de planas e paralelas é formado por dois discos circulares de raio a separados por uma distância d ll a, no vácuo. As placas estão ligadas a um gerador AC que produz uma carga no capacitor Q(t)=Q0 sen(omega t). Admita que o campo E entre as placas é uniforme, desprezando fuga de linhas de força, e tome o eixo z ao longo do eixo do capacitor.
(a) [0,5] Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico, E(t), entre as placas do capacitor;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre capacitores usando a Lei de Gauss. A gente tem um capacitor com duas placas circulares de raio a, separadas por uma distância bem menor que a ( d ll a), ligado a um gerador AC que faz a carga variar no tempo como . Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico Q(t) = Q0 sen(omega t) entre as placas usando a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, é:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana que facilite nossos cálculos. Como o campo elétrico entre as placas é uniforme e perpendicular às placas, a melhor escolha é um cilindro imaginário que tem uma das bases dentro de uma das placas e a outra base entre as placas. Esse cilindro vai ajudar a calcular o fluxo elétrico.

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo �� uniforme e perpendicular às placas, o fluxo através das laterais do cilindro é zero. Apenas as bases do cilindro contribuem para o fluxo. Então, o fluxo total é:
Phi = E(t) cdot A
onde A = pi a^2 é a área das placas.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E(t) cdot A = Q(t)varepsilon0
Substituindo A = pi a^2 e , temos:

Resposta

O campo elétrico entre as placas do capacitor é dado por:

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