Um capilar de uma célula de Arnold tem 60 cm de altura, nele foi adicionada acetona até uma altura de 11 cm a contar do fundo do recipiente. Determine o tempo necessário para o nível de acetona abaixar considerando que a célula está preenchida por ar seco e estagnado a pressão de 1 atm e de temperatura. Para efeito de cálculo, suponha que o vapor de acetona é totalmente arrastado no topo do capilar. Nessas condições são fornecidos os dados: pressão de vapor da acetona igual a , massa molar da acetona igual , densidade de difusividade da acetona no ar de .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um capilar de 60 cm de altura onde foi adicionada acetona até 11 cm do fundo. Queremos descobrir quanto tempo leva para o nível de acetona baixar 4,2 cm. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de difusão de vapores e leis dos gases, além de usar as fórmulas relacionadas à Lei de Fick para calcular o tempo de escoamento do vapor de acetona no ar. Vamos utilizar os dados fornecidos como pressão de vapor, massa molar, densidade, constante dos gases e difusividade da acetona no ar.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a quantidade de acetona que vai evaporar quando o nível desce 4,2 cm. A densidade da acetona é dada por , então a massa que será perdida é:
Como estamos lidando com uma coluna de líquido de altura em um capilar de área , o volume é:
Mas como não temos a área, vamos considerar que a área se cancela nas etapas seguintes e focar na relação entre a mudança de altura e a quantidade de vapor.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a taxa de evaporação com o fluxo de massa do vapor de acetona no ar. Para isso, usamos a Lei de Fick de Difusão, que nos diz que o fluxo de massa é proporcional ao gradiente de concentração:
Onde:
é a difusividade da acetona no ar,
é o gradiente de concentração.
Passo 4
Vamos calcular a concentração de acetona no topo do capilar. Sabemos que a pressão de vapor da acetona é e a pressão total é (que é ). A fração molar da acetona é:
A concentração pode ser encontrada usando a equação dos gases ideais:
Onde:
,
.
Substituindo os valores:
Passo 5
Com a concentração, podemos calcular o fluxo de massa usando a Lei de Fick:
Aqui, é a altura do capilar. Então:
O sinal negativo indica que a massa está sendo perdida.
Passo 6
Agora, vamos relacionar esse fluxo de massa com a taxa de queda da altura da acetona. A massa total que precisa ser evaporada é:
A taxa de variação da altura em função do tempo é:
Substituindo :
Passo 7
Para encontrar o tempo necessário para a altura descer 4,2 cm, integremos a equação:
Isolando :
Perceba que a área cancela, indicando que o tempo não depende da área do capilar.
Passo 8
Calculando o tempo:
Convertendo para horas:
Resposta
O tempo necessário para o nível de acetona abaixar 4,2 cm é aproximadamente 76 dias.