Aletas planas de cobre com seção retangular, tendo espessura t=1 mm, altura L =10 mm e condutividade térmica k=380 W /(m ^circ C), são fixadas a uma parede mantida a temperatura T0=230^circ C. Aletas dissipam calor por convecção para o ar ambiente a T=30^circ C, com um coeficiente de transferência de calor h=40 W /(m^2 ^circ C). Há um espaço de 8 mm entre as aletas (isto é, há 125 aletas por metro). Admita perda de calor desprezível na ponta. Determine a eficácia global.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conhecimentos vamos precisar.
Enunciado resumido: Temos aletas planas de cobre fixadas em uma parede quente que dissipam calor para o ar ambiente. Precisamos calcular a eficácia global dessas aletas.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção, além de conceitos de aletas (fins) para aumentar a dissipação de calor.
O que vamos precisar: Fórmulas de transferência de calor por condução e convecção, conceito de eficiência das aletas e como calcular a eficácia global considerando múltiplas aletas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa eficácia global nesse contexto. A eficácia global é a relação entre o calor realmente transferido pelas aletas e o calor que seria transferido se não houvesse as aletas (apenas a superfície base).
Ou seja:
Eficácia Global (epsilon) = QfinsQbase á
Onde:
  • é o calor transferido pelas aletas.
  • é o calor que seria transferido pela superfície sem as aletas.

Passo 3

Vamos calcular Q = eta cdot h cdot Afins cdot De primeiro. Para isso, precisamos da fórmula para o calor transferido por uma aleta:
Onde:
  • é a eficiência da aleta.
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é a área de superfície da aleta.
  • é a diferença de temperatura entre a superfície da aleta e o ar ambiente.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a área de superfície de uma aleta ( Afins = 2(L cdot t) + 2(L cdot d) + (t cdot d) ). As aletas têm seção retangular com espessura t = 1 mm = 0,001 m e altura L = 10 mm = 0,01 m .
A área de superfície de uma aleta é dada por:
Afins = 2 times (0,01 times 0,001) = 2 times 0,00001 = 0,00002 m^2
Onde é a largura da aleta. Porém, como o problema não fornece , podemos simplificar assumindo que a aleta é muito longa, e a área lateral principal é .
Convertendo as medidas para metros:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos calcular a eficiência da aleta ( eta = tanh(mL)mL ). A eficiência depende da condução de calor na aleta e da convecção na superfície.
A eficiência pode ser calculada pela fórmula:
h = 40 W/(m^2°C)
Onde k = 380 W/(m°C)
Vamos calcular t = 0,001 m primeiro. Com os valores fornecidos:
m = raiz2 times 40380 times 0,001 = raiz800,38 approx raiz210,526 approx 14,51 m^-1
mL = 14,51 times 0,01 = 0,1451
eta = tanh(0,1451)0,1451
Então,
tanh(0,1451) approx 0,144
Agora, calculamos eta approx 0,1440,1451 approx 0,992 :
Então,
Calculando :
Portanto,

Passo 6

Agora que temos a eficiência, podemos calcular o calor transferido por uma aleta:
Q = 0,992 times 40 times 0,00002 times (230 - 30)
Calculando De:
Q = 0,992 times 40 times 0,00002 times 200 = 0,992 times 40 times 0,004 = 0,992 times 0,16 = 0,1587 W
Então,

Passo 7

Como temos 125 aletas por metro, o calor total transferido pelas aletas é:
Qfins = 0,1587 times 125 = 19,84 W/m

Passo 8

Agora, vamos calcular Abase = largura total times espessura = 1 m times 0,001 m = 0,001 m^2 , que é o calor transferido sem as aletas. A área da base por metro é:
Qbase = h times Abase times De
Então,

Passo 9

Finalmente, calculamos a eficácia global:
epsilon = QfinsQbase = 19,848 = 2,48

Resposta

A eficácia global das aletas é 2,48.

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