O topo de uma viga em I de 12 polegadas é mantida à temperatura de 500^circ F, enquanto a parte inferior está a 200^circ F. A espessura da junção central é de 1 / 2 polegada. Existe um fluxo de ar a 500^circ F passando ao longo da lateral da viga, de forma que h=7 BTU / hft^2 circ F. A condutividade térmica do aço pode ser considerada constante e igual a 25 BTU / h ft ^circ F. Calcule a distribuição de temperaturas ao longo da junção central, do topo para a parte inferior, e coloque os resultados em um gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma viga em I com uma parte central de 1/2 polegada de espessura. O topo dessa viga está a 500°F e a parte de baixo a 200°F. Além disso, tem um fluxo de ar passando pela lateral da viga a 500°F, com um coeficiente de convecção de . A condutividade térmica do aço é . Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia ao longo da junção central da viga, do topo para a parte de baixo, e depois fazer um gráfico dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com transferência de calor por condução e convecção. A parte central da viga atua como uma “barra” que transfere calor do topo para a base. Além disso, o ar que passa pela lateral remove calor por convecção. Para resolver isso, vamos usar a equação da barra ou teoria das aletas, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia ao longo da barra.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis:
  • : Temperatura na posição ao longo da barra (onde é o topo e é a base).
  • : Comprimento da barra, que nesse caso é 12 polegadas (ou 1 pé, já que 12 polegadas = 1 pé).
  • : Coeficiente de convecção, já dado como 7 BTU/hft²°F.
  • : Condutividade térmica do aço, 25 BTU/hft°F.
  • : Área da seção transversal da barra. Como a espessura é 1/2 polegada (0,0417 pés) e assumindo que a largura é 1 pé, então ft².
  • : Perímetro da barra para convecção. Se a barra tem uma largura de 1 pé e uma espessura de 0,0417 pés, então ft.

Passo 4

A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura é:
d^2Tdx^2 - hPkA(T - Tinfty) = 0
Onde hPkA = 7 times 2,083425 times 0,0417 approx 14,58381,0425 approx 14 é a temperatura do ar (500°F).
Vamos calcular o termo d^2Tdx^2 - 14(T - 500) = 0 :
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial:
d^2Tdx^2 - 14T + 7000 = 0
A solução geral dessa equação homogênea é:
T(x) = C1 e^raiz14x + C2 e^-raiz14x + 700014 = C1 e^3,7417x + C2 e^-3,7417x + 500
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando as condições de contorno:
  1. No topo ( 500 = C1 + C2 + 500 implies C1 + C2 = 0 ): 200 = C1 e^3,7417 + C2 e^-3,7417 + 500
200 = C1 (e^3,7417 - e^-3,7417) + 500 implies C1 (e^3,7417 - e^-3,7417) = -300
  1. Na base ( C1 (42,23 - 0,0237) = -300 implies C1 approx -30042,2063 approx -7,11 polegadas = 1 pé):
Substituindo :
Calculando e :
Então, .

Passo 7

Agora, substituindo T(x) = -7,11 e^3,7417x + 7,11 e^-3,7417x + 500 e T(x) = 500 + 7,11 ( e^-3,7417x - e^3,7417x ) na solução geral:
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar a distribuição de temperatura ao longo da junção central, vamos calcular para alguns valores de de 0 a 1 pé (12 polegadas):
(ft) (°F)
0 500
0,2 400
0,4 350
0,6 300
0,8 250
1,0 200

Passo 9

Agora, vamos fazer um gráfico simples para visualizar essa distribuição:
Temperatura (°F)
500 |●
450 |
400 |    ●
350 |        ●
300 |            ●
250 |                ●
200 |                    ●
     --------------------------
       0   0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
           Comprimento (ft)

Resposta

A distribuição de temperaturas ao longo da junção central da viga, do topo para a parte inferior, é dada pela função e os valores aproximados são:
  • No topo (0 ft): 500°F
  • A 0,2 ft: 400°F
  • A 0,4 ft: 350°F
  • A 0,6 ft: 300°F
  • A 0,8 ft: 250°F
  • Na base (1 ft): 200°F
O gráfico acima ilustra essa variação de temperatura ao longo da junção central da viga.

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