O topo de uma viga em I de 12 polegadas é mantida à temperatura de
, enquanto a parte inferior está a
. A espessura da junção central é de
polegada. Existe um fluxo de ar a
passando ao longo da lateral da viga, de forma que
. A condutividade térmica do aço pode ser considerada constante e igual a
. Calcule a distribuição de temperaturas ao longo da junção central, do topo para a parte inferior, e coloque os resultados em um gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma viga em I com uma parte central de 1/2 polegada de espessura. O topo dessa viga está a 500°F e a parte de baixo a 200°F. Além disso, tem um fluxo de ar passando pela lateral da viga a 500°F, com um coeficiente de convecção de
. A condutividade térmica do aço é
. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia ao longo da junção central da viga, do topo para a parte de baixo, e depois fazer um gráfico dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com transferência de calor por condução e convecção. A parte central da viga atua como uma “barra” que transfere calor do topo para a base. Além disso, o ar que passa pela lateral remove calor por convecção. Para resolver isso, vamos usar a equação da barra ou teoria das aletas, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia ao longo da barra.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis:
-
: Temperatura na posição ao longo da barra (onde é o topo e é a base). -
: Comprimento da barra, que nesse caso é 12 polegadas (ou 1 pé, já que 12 polegadas = 1 pé). -
: Coeficiente de convecção, já dado como 7 BTU/hft²°F. -
: Condutividade térmica do aço, 25 BTU/hft°F. -
: Área da seção transversal da barra. Como a espessura é 1/2 polegada (0,0417 pés) e assumindo que a largura é 1 pé, então ft². -
: Perímetro da barra para convecção. Se a barra tem uma largura de 1 pé e uma espessura de 0,0417 pés, então ft.
Passo 4
A equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura é:
Onde
é a temperatura do ar (500°F).
Vamos calcular o termo
:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.
Passo 6
Aplicando as condições de contorno:
- No topo (
):
- Na base (
polegadas = 1 pé):
Substituindo
:
Calculando
e
:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituindo
e
na solução geral:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar a distribuição de temperatura ao longo da junção central, vamos calcular
para alguns valores de
de 0 a 1 pé (12 polegadas):
|
|
---|---|
0 | 500 |
0,2 | 400 |
0,4 | 350 |
0,6 | 300 |
0,8 | 250 |
1,0 | 200 |
Passo 9
Agora, vamos fazer um gráfico simples para visualizar essa distribuição:
Temperatura (°F)
500 |●
450 |
400 | ●
350 | ●
300 | ●
250 | ●
200 | ●
--------------------------
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Comprimento (ft)
Resposta
A distribuição de temperaturas ao longo da junção central da viga, do topo para a parte inferior, é dada pela função
e os valores aproximados são:
- No topo (0 ft): 500°F
- A 0,2 ft: 400°F
- A 0,4 ft: 350°F
- A 0,6 ft: 300°F
- A 0,8 ft: 250°F
- Na base (1 ft): 200°F
O gráfico acima ilustra essa variação de temperatura ao longo da junção central da viga.