Um capital aplicado a juros compostos a uma certa taxa anual de juros dobra a cada 7 anos. Se, hoje, o montante é R$250 000,00, o capital aplicado há 28 anos é um valor cuja soma dos algarismos vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor já acumulado. O enunciado diz que um capital investido dobra de valor a cada 7 anos. Hoje, esse montante é de R$250.000,00. A pergunta é: qual foi o capital inicial aplicado há 28 anos atrás, e qual é a soma dos algarismos desse valor inicial?
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os juros compostos funcionam. A fórmula básica para calcular o montante $ M $ após um certo tempo é:
Onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ C $ é o capital inicial,
- $ i $ é a taxa de juros por período,
- $ n $ é o número de períodos.
Mas nesse caso, a gente sabe que o capital dobra a cada 7 anos. Isso significa que após 7 anos, o montante será $ 2 \times C $. Podemos usar essa informação para encontrar a taxa de juros.
Passo 3
Como o capital dobra a cada 7 anos, temos:
Dividindo ambos os lados por $ C $:
Agora, para encontrar $ i $, tiramos a raiz sétima de 2:
Passo 4
Sabemos que hoje, após 28 anos, o montante é R$250.000,00. Queremos encontrar o capital inicial $ C $. Usamos novamente a fórmula dos juros compostos:
Onde:
- $ M = 250.000 $,
- $ n = 28 $ anos,
- $ i \approx 0,1041 $.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular $ (1 + 0,1041)^{28} $:
Assim:
Para encontrar $ C $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a soma dos algarismos de R$15.625,00. Vamos separar os números:
1 + 5 + 6 + 2 + 5 = 19
Resposta
O capital aplicado há 28 anos era de R$15.625,00, e a soma dos seus algarismos é 19.