Um capital aplicado a juros compostos a uma certa taxa anual de juros dobra a cada 7 anos. Se, hoje, o montante é R$250 000,00, o capital aplicado há 28 anos é um valor cuja soma dos algarismos vale

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor já acumulado. O enunciado diz que um capital investido dobra de valor a cada 7 anos. Hoje, esse montante é de R$250.000,00. A pergunta é: qual foi o capital inicial aplicado há 28 anos atrás, e qual é a soma dos algarismos desse valor inicial?

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os juros compostos funcionam. A fórmula básica para calcular o montante $ M $ após um certo tempo é:
M
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ C $ é o capital inicial,
  • $ i $ é a taxa de juros por período,
  • $ n $ é o número de períodos.
Mas nesse caso, a gente sabe que o capital dobra a cada 7 anos. Isso significa que após 7 anos, o montante será $ 2 \times C $. Podemos usar essa informação para encontrar a taxa de juros.

Passo 3

Como o capital dobra a cada 7 anos, temos:
2C = C times (1 + i)^7
Dividindo ambos os lados por $ C $:
C
Agora, para encontrar $ i $, tiramos a raiz sétima de 2:
2 = (1 + i)^7
i

Passo 4

Sabemos que hoje, após 28 anos, o montante é R$250.000,00. Queremos encontrar o capital inicial $ C $. Usamos novamente a fórmula dos juros compostos:
250.000,00 Queremos encontrar o capital inicial
Onde:
  • $ M = 250.000 $,
  • $ n = 28 $ anos,
  • $ i \approx 0,1041 $.
Substituindo os valores:
Usamos novamente a fórmula dos juros compostos:

Passo 5

Vamos calcular $ (1 + 0,1041)^{28} $:
(1 + 0,1041)^28
Assim:
(1,1041)^28 approx 16
Para encontrar $ C $:
250.000 = C times 16

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a soma dos algarismos de R$15.625,00. Vamos separar os números:
1 + 5 + 6 + 2 + 5 = 19

Resposta

O capital aplicado há 28 anos era de R$15.625,00, e a soma dos seus algarismos é 19.

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