No capítulo atual, em que estudamos sistemas de duas EDOs autônomas,
x'(t) = g(x, y), y'(t) = h(x, y)
qual é o espaço de fase? Suponha que o domínio das FVVs g(x, y) e h(x, y) seja R^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está estudando sistemas de duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) autônomas, que têm a forma:
x'(t) = g(x, y), y'(t) = h(x, y)
A pergunta é: qual é o espaço de fase desse sistema? E a gente sabe que as funções e estão definidas em todo o plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é espaço de fase. Imagine que queremos estudar como as soluções desse sistema se comportam ao longo do tempo. O espaço de fase é um lugar onde a gente representa todas as possíveis combinações dos valores de e . Cada ponto nesse espaço corresponde a um estado específico do sistema.
Como nosso sistema tem duas variáveis, e , e ambas podem assumir qualquer valor real (já que e estão definidas em ), o espaço de fase vai ser o próprio plano . Nesse plano, o eixo horizontal pode representar os valores de e o eixo vertical os valores de .

Passo 3

Então, ao analisar o sistema no espaço de fase, a gente olha como os pontos se movem conforme o tempo passa, seguindo as direções indicadas pelas funções e . Isso ajuda a visualizar o comportamento das soluções sem precisar resolver as equações explicitamente.

Resposta

O espaço de fase para o sistema dado é o plano bidimensional .

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