No capítulo atual, em que estudamos sistemas de duas EDOs autônomas,
qual é o espaço de fase? Suponha que o domínio das FVVs
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está estudando sistemas de duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) autônomas, que têm a forma:
A pergunta é: qual é o espaço de fase desse sistema? E a gente sabe que as funções
e
estão definidas em todo o plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é espaço de fase. Imagine que queremos estudar como as soluções desse sistema se comportam ao longo do tempo. O espaço de fase é um lugar onde a gente representa todas as possíveis combinações dos valores de
e
. Cada ponto nesse espaço corresponde a um estado específico do sistema.
Como nosso sistema tem duas variáveis,
e
, e ambas podem assumir qualquer valor real (já que
e
estão definidas em
), o espaço de fase vai ser o próprio plano
. Nesse plano, o eixo horizontal pode representar os valores de
e o eixo vertical os valores de
.
Passo 3
Então, ao analisar o sistema no espaço de fase, a gente olha como os pontos
se movem conforme o tempo passa, seguindo as direções indicadas pelas funções
e
. Isso ajuda a visualizar o comportamento das soluções sem precisar resolver as equações explicitamente.
Resposta
O espaço de fase para o sistema dado é o plano bidimensional
.
Exercícios relacionados
Exprima
como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.
Calcule a)
Explique por que o campo vetorial
é tangente às curvas traçadas pela solução no espaço de fase.
Uma estudante de IEDO encontrou uma solução
para o PVI definido pela condição inicial
e pelo sistema
, onde
e
é uma certa matriz 2 x 2 de entradas constantes. Qual é o intervalo de validade de
? É possível garantir que
seja a única solução desse PVI em algum intervalo (de
)? Qual?