Exprima como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos expressar o conjunto dos números naturais, que é representado por , como uma união infinita de subconjuntos infinitos, onde cada subconjunto não compartilha elementos com os outros (ou seja, são disjuntos dois a dois).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de conjuntos e uniões. Vamos dividir a resolução em passos simples para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma união de conjuntos. Quando fazemos a união de vários conjuntos, estamos juntando todos os elementos desses conjuntos em um único conjunto maior. Por exemplo, se e , então .
No nosso caso, queremos fazer isso de forma infinita e com subconjuntos que não se repetem, ou seja, que não têm nenhum elemento em comum entre si.

Passo 3

Para criar subconjuntos infinitos e disjuntos, uma estratégia é dividir os números naturais de forma organizada. Vamos usar a ideia de passos regulares para distribuir os números em diferentes subconjuntos.
Por exemplo, podemos pensar em cada subconjunto iniciando com um número específico e adicionando números a partir desse ponto seguindo um padrão.

Passo 4

Vamos definir cada subconjunto de forma que:
Aqui, é o número inicial de cada subconjunto, e é um passo que vamos escolher de forma a garantir que os subconjuntos sejam infinitos e disjuntos.
Para manter os subconjuntos disjuntos, vamos fixar que cada passo seja igual a . Assim, cada subconjunto será formado pelos números que começam em e aumentam de em .

Passo 5

No entanto, se fizermos isso com , todos os subconjuntos acabarão incluindo todos os números naturais, o que não é disjunto. Para resolver isso, precisamos de uma maneira diferente.
Uma alternativa é atribuir a cada número natural exatamente um subconjunto de forma que nenhum número pertença a mais de um subconjunto.
Vamos usar a divisão por restos. Por exemplo, para cada número natural, podemos atribuir a ele um subconjunto baseado no seu resto quando dividido por um número fixo.

Passo 6

Vamos definir cada subconjunto pelo seguinte critério:
Onde é um número fixo que determina o número de subconjuntos. Contudo, queremos uma união infinita de subconjuntos, então precisamos que também seja infinito.

Passo 7

Para garantir que cada subconjunto seja infinito e que eles sejam todos disjuntos dois a dois, podemos definir cada como:
onde cresce de forma que não haja sobreposição entre os subconjuntos. Uma maneira comum de fazer isso é usar números primos ou outros padrões que garantam disjunção.

Passo 8

Uma abordagem simples é usar a potência de 2 para garantir disjunção. Vamos definir cada subconjunto como múltiplos de :
Dessa forma, cada subconjunto contém números que são múltiplos de uma potência diferente de 2, garantindo que não haja sobreposição entre eles.

Resposta

Assim, conseguimos expressar como uma união infinita de subconjuntos infinitos e disjuntos dois a dois da seguinte forma:
onde cada .

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