Uma estudante de IEDO encontrou uma solução phi(t) para o PVI definido pela condição inicial r(t0) = r0 e pelo sistema d/dt r = A r, onde r = (x, y) e A é uma certa matriz 2 x 2 de entradas constantes. Qual é o intervalo de validade de phi(t) ? É possível garantir que phi(t) seja a única solução desse PVI em algum intervalo (de t )? Qual?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma estudante que encontrou uma solução para um Problema de Valor Inicial (PVI). Esse PVI é definido pela condição inicial e pelo sistema de equações diferenciais , onde e é uma matriz 2x2 com entradas constantes. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e teoria de existência e unicidade para resolver as perguntas: qual o intervalo de validade de e se essa solução é única em algum intervalo de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o intervalo de validade. Basicamente, é o conjunto de valores de para os quais a solução realmente existe e satisfaz o sistema de equações dado. Para sistemas lineares com coeficientes constantes, como o que temos aqui, as soluções geralmente são bem comportadas.

Passo 3

Agora, sobre a unicidade da solução: existe um teorema chamado Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf que nos diz que, se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem uma condição de Lipschitz, então existe uma única solução para o PVI em algum intervalo ao redor da condição inicial . No nosso caso, como é uma matriz com entradas constantes, as funções são claramente contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz em todo o domínio real.

Passo 4

Isso significa que a solução não só existe, mas também é única para todo onde o sistema está definido. Como tem entradas constantes e não há termos que possam causar problemas como divisões por zero ou outras singularidades, a solução é válida para todos os valores de no conjunto dos números reais.

Resposta

A solução é válida para todo o intervalo . Além disso, essa solução é a única solução do PVI nesse intervalo, garantindo a unicidade para todo .

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