Uma estudante de IEDO encontrou uma solução
para o PVI definido pela condição inicial
e pelo sistema
, onde
e
é uma certa matriz 2 x 2 de entradas constantes. Qual é o intervalo de validade de
? É possível garantir que
seja a única solução desse PVI em algum intervalo (de
)? Qual?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma estudante que encontrou uma solução
para um Problema de Valor Inicial (PVI). Esse PVI é definido pela condição inicial
e pelo sistema de equações diferenciais
, onde
e
é uma matriz 2x2 com entradas constantes. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e teoria de existência e unicidade para resolver as perguntas: qual o intervalo de validade de
e se essa solução é única em algum intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o intervalo de validade. Basicamente, é o conjunto de valores de
para os quais a solução
realmente existe e satisfaz o sistema de equações dado. Para sistemas lineares com coeficientes constantes, como o que temos aqui, as soluções geralmente são bem comportadas.
Passo 3
Agora, sobre a unicidade da solução: existe um teorema chamado Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf que nos diz que, se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem uma condição de Lipschitz, então existe uma única solução para o PVI em algum intervalo ao redor da condição inicial
. No nosso caso, como
é uma matriz com entradas constantes, as funções são claramente contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz em todo o domínio real.
Passo 4
Isso significa que a solução
não só existe, mas também é única para todo
onde o sistema está definido. Como
tem entradas constantes e não há termos que possam causar problemas como divisões por zero ou outras singularidades, a solução é válida para todos os valores de
no conjunto dos números reais.
Resposta
A solução
é válida para todo o intervalo
. Além disso, essa solução é a única solução do PVI nesse intervalo, garantindo a unicidade para todo
.
Exercícios relacionados
Explique por que o campo vetorial
é tangente às curvas traçadas pela solução no espaço de fase.
No capítulo atual, em que estudamos sistemas de duas EDOs autônomas,
qual é o espaço de fase? Suponha que o domínio das FVVs
e
seja
.
Existe alguma solução
desse sistema que não pode ser escrita na forma
? Por que?
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.