Calcule a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui! No primeiro, temos uma expressão com potências e vamos usar propriedades dos limites para encontrar o resultado. No segundo, lidamos com exponenciais e derivadas básicas. Vamos precisar entender como limites funcionam, especialmente com funções exponenciais e regras de derivação simples.

Passo 2

Primeiro Limite:
Essa expressão se parece muito com a definição do número de Euler, , que é conhecido por . Vamos adaptar isso para resolver o nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o limite separando o expoente:
Agora, temos duas partes para considerar separadamente.

Passo 4

Primeira parte:
Para facilitar, vamos pensar em termos de . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 5

Segunda parte:
Quando tende ao infinito, tende a , então:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:

Passo 7

Segundo Limite:
Aqui, temos uma forma indeterminada do tipo quando substituímos . Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 8

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 9

Agora, o limite fica:
Substituindo :

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Sejam enumerável e tal que, para cada é enumerável. Prove que é enumerável.
se então
Exprima como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.
No capítulo atual, em que estudamos sistemas de duas EDOs autônomas,
qual é o espaço de fase? Suponha que o domínio das FVVs e seja .