Calcule a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites aqui! No primeiro, temos uma expressão com potências e vamos usar propriedades dos limites para encontrar o resultado. No segundo, lidamos com exponenciais e derivadas básicas. Vamos precisar entender como limites funcionam, especialmente com funções exponenciais e regras de derivação simples.
Passo 2
Primeiro Limite:
Essa expressão se parece muito com a definição do número de Euler,
, que é conhecido por
. Vamos adaptar isso para resolver o nosso limite.
Passo 3
Vamos reescrever o limite separando o expoente:
Agora, temos duas partes para considerar separadamente.
Passo 4
Primeira parte:
Para facilitar, vamos pensar em termos de
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 5
Segunda parte:
Quando
tende ao infinito,
tende a
, então:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes:
Passo 7
Segundo Limite:
Aqui, temos uma forma indeterminada do tipo
quando substituímos
. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 8
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 9
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Sejam
enumerável e
tal que, para cada
é enumerável. Prove que
é enumerável.
se
então
Exprima
como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.
No capítulo atual, em que estudamos sistemas de duas EDOs autônomas,
qual é o espaço de fase? Suponha que o domínio das FVVs
e
seja
.