Calcule a) lim x +infty(1+2x)^x+1 lim x 0 e^x^2-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui! No primeiro, temos uma expressão com potências e vamos usar propriedades dos limites para encontrar o resultado. No segundo, lidamos com exponenciais e derivadas básicas. Vamos precisar entender como limites funcionam, especialmente com funções exponenciais e regras de derivação simples.

Passo 2

Primeiro Limite: lim x +infty(1+2x)^x+1
Essa expressão se parece muito com a definição do número de Euler, e, que é conhecido por limx to infty (1 + 1x)^x = e. Vamos adaptar isso para resolver o nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o limite separando o expoente:
(1+2x)^x+1 = (1+2x)^x cdot (1+2x)^1
Agora, temos duas partes para considerar separadamente.

Passo 4

Primeira parte: (1+2x)^x
Para facilitar, vamos pensar em termos de e. Sabemos que:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Aqui, a = 2, então:
limx to infty (1+2x)^x = e^2

Passo 5

Segunda parte: (1+2x)^1 = 1 + 2x
Quando x tende ao infinito, 2x tende a 0, então:
limx to infty (1+2x)^1 = 1

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
lim x +infty(1+2x)^x+1 = e^2 cdot 1 = e^2

Passo 7

Segundo Limite: lim x 0 e^x^2-1x
Aqui, temos uma forma indeterminada do tipo 00 quando substituímos x = 0. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 8

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador: ddx (e^x^2 - 1) = 2x e^x^2
Derivada do denominador: ddx (x) = 1

Passo 9

Agora, o limite fica:
lim x 0 2x e^x^21
Substituindo x = 0:
2 cdot 0 cdot e^0 = 0

Resposta

a) lim x +infty(1+2x)^x+1 = e^2
b) lim x 0 e^x^2-1x = 0

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