As características fluidodinâmicas de uma bola de golfe devem ser testadas usando um modelo em um túnel de vento. Os parâmetros dependentes são a força de arrasto, , e a força de sustentação, , sobre a bola. Os parâmetros independentes devem incluir a velocidade angular, , a profundidade das cavidades da bola, , o diâmetro da bola, , a velocidade, e propriedades do fluido. Determine parâmetros adimensionais adequados e expresse a dependência funcional entre eles. Um profissional de golfe pode golpear uma bola a e . Para modelar estas condições em um túnel de vento com velocidade máxima de , que diâmetro de modelo deve ser utilizado? Quão rápido deve o modelo girar? (O diâmetro de uma bola de golfe oficial americana é ).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que testar as características fluidodinâmicas de uma bola de golfe usando um modelo em um túnel de vento. Os principais parâmetros que vamos analisar são a força de arrasto ( ) e a força de sustentação ( ). Para isso, precisamos determinar parâmetros adimensionais que nos ajudem a relacionar as condições reais com as do modelo no túnel de vento. Além disso, precisamos calcular o diâmetro e a velocidade angular que o modelo deve ter para simular as condições reais de uma bola de golfe sendo golpeada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros independentes e dependentes. Os parâmetros dependentes são as forças de arrasto ( ) e sustentação ( ). Os parâmetros independentes incluem:
  • Velocidade angular ( )
  • Profundidade das cavidades da bola ( )
  • Diâmetro da bola ( )
  • Velocidade do fluxo de ar ( )
  • Propriedades do fluido (como a viscosidade cinemática )

Passo 3

Para relacionar esses parâmetros de forma adimensional, vamos utilizar o número de Reynolds ( ), que é uma medida importante em fluidodinâmica para caracterizar o fluxo. O número de Reynolds é dado por:
Onde:
  • é a velocidade do fluxo
  • é o diâmetro da bola
  • é a viscosidade cinemática do fluido

Passo 4

Além do número de Reynolds, vamos considerar a razão de rotação adimensional ( ), que relaciona a velocidade angular com a velocidade linear. Ela é dada por:
Onde:
  • é a velocidade angular
  • é o diâmetro da bola
  • é a velocidade do fluxo

Passo 5

Agora, precisamos estabelecer que os parâmetros adimensionais do modelo devem ser iguais aos da condição real para garantir a similaridade dinâmica. Portanto, temos:

Passo 6

Vamos calcular o número de Reynolds para a condição real:
E para o modelo:
Como , temos:
Simplificando:

Passo 7

Vamos agora igualar as razões de rotação:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar o diâmetro do modelo ( ) e a velocidade angular do modelo ( ). Vamos expressar a partir da equação do número de Reynolds:
Substituindo os valores:
Ou seja, o diâmetro do modelo deve ser aproximadamente .

Passo 9

Agora, vamos encontrar a velocidade angular do modelo ( ) usando a razão de rotação:
Substituindo os valores:

Resposta

O modelo deve ter um diâmetro de aproximadamente e girar a cerca de para simular as condições reais no túnel de vento.

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$$
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