Uma partícula de massa move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é .
e) Calcule os pontos de retorno do movimento em para uma órbita com energia .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa que está se movendo sob a influência de uma força central com uma energia potencial dada por . Isso é parecido com um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, o momento angular da partícula em relação à origem é , e queremos encontrar os pontos de retorno do movimento em quando a energia total é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar usar a conservação de energia e a teoria do potencial efetivo em movimentos orbitais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em qualquer movimento, a energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial. No caso de uma força central, a energia cinética pode ser dividida em duas partes: uma radial e outra angular. A energia radial está relacionada ao movimento em , e a energia angular está relacionada ao giro ao redor da origem.

Passo 3

A energia cinética total da partícula pode ser escrita como:
Aqui, é a velocidade radial e é a velocidade angular. O termo representa a energia cinética associada ao movimento angular.

Passo 4

Sabemos que o momento angular é dado por:
Podemos resolver isso para :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da energia cinética total:
Então, a energia total é:

Passo 6

Para encontrar os pontos de retorno, procuramos os valores de onde a velocidade radial é zero, ou seja, onde a energia total é igual à energia potencial efetiva. Portanto, temos:

Passo 7

Vamos organizar essa equação para encontrar os valores de :
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em termos de . Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . Assim, a equação fica:

Passo 9

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 10

Lembrando que , então os pontos de retorno são:

Resposta

Os pontos de retorno do movimento em são dados por:

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