Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é V=12 k r^2.
e) Calcule os pontos de retorno do movimento em L para uma órbita com energia r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa que está se movendo sob a influência de uma força central com uma energia potencial dada por . Isso é parecido com um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, o momento angular da partícula em relação à origem é , e queremos encontrar os pontos de retorno do movimento em quando a energia total é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar usar a conservação de energia e a teoria do potencial efetivo em movimentos orbitais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em qualquer movimento, a energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial. No caso de uma força central, a energia cinética pode ser dividida em duas partes: uma radial e outra angular. A energia radial está relacionada ao movimento em , e a energia angular está relacionada ao giro ao redor da origem.

Passo 3

A energia cinética total T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) da partícula pode ser escrita como:
Aqui, é a velocidade radial e é a velocidade angular. O termo representa a energia cinética associada ao movimento angular.

Passo 4

Sabemos que o momento angular L = m r^2 dottheta é dado por:
dottheta = Lm r^2
Podemos resolver isso para :

Passo 5

Agora, substituímos T = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 ( Lm r^2 )^2 = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 na expressão da energia cinética total:
E = T + V = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + 12 k r^2
Então, a energia total é:

Passo 6

Para encontrar os pontos de retorno, procuramos os valores de E = L^22 m r^2 + 12 k r^2 onde a velocidade radial é zero, ou seja, onde a energia total é igual à energia potencial efetiva. Portanto, temos:

Passo 7

Vamos organizar essa equação para encontrar os valores de 12 k r^2 + L^22 m r^2 - E = 0 :
k r^4 + L^2m - 2 E r^2 = 0
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em termos de k u^2 - 2 E u + L^2m = 0 . Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . Assim, a equação fica:

Passo 9

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para u = 2 E pm raiz(2 E)^2 - 4 cdot k cdot L^2m2 k = 2 E pm raiz4 E^2 - 4 k L^2m2 k usando a fórmula de Bhaskara:
u = E pm raizE^2 - k L^2mk
Simplificando:

Passo 10

Lembrando que r = raizE pm raizE^2 - k L^2mk , então os pontos de retorno são:

Resposta

Os pontos de retorno do movimento em r = raizE pm raizE^2 - k L^2mk são dados por:

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