Uma carga de -6,50 nC está uniformemente distribuída sobre a superfície de uma face de um disco não condutor de raio 1,25 cm. a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse disco produz em um ponto P sobre o eixo do disco a uma distância de 2,0 cm de seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma carga de -6,50 nC espalhada uniformemente sobre a superfície de uma face de um disco não condutor com raio de 1,25 cm. A pergunta é: qual é o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse disco gera em um ponto que está no eixo do disco, a 2,0 cm do centro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga em um objeto com simetria circular, como um disco. Vamos usar a integração para somar as contribuições de todas as pequenas cargas que compõem o disco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de cada elemento de carga. Como a carga está distribuída uniformemente sobre o disco, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Vamos considerar um anel infinitesimal com raio e espessura no disco. A carga nesse anel é , onde é a densidade superficial de carga.

Passo 3

A densidade superficial de carga sigma = Qpi R^2 é dada pela carga total dividida pela área do disco:
sigma = -6,50 times 10^-9pi (1,25 times 10^-2)^2 = -6,50 times 10^-9pi times 1,5625 times 10^-4 approx -1,33 times 10^-4 , C/m^2
Onde:
  • C
  • m
Vamos calcular:

Passo 4

Agora, para cada anel de raio dq = sigma cdot 2pi r dr = -1,33 times 10^-4 times 2pi r dr e espessura dE = 14pi varepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 , a carga é:
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto será na direção do eixo do disco (devido à simetria), e sua magnitude pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
  • m é a distância do ponto ao centro do disco.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo dE = 14pi varepsilon0 cdot (-1,33 times 10^-4) times 2pi r dr times z(z^2 + r^2)^3/2 na expressão para dE = -1,33 times 10^-4 times z2 varepsilon0 cdot r dr(z^2 + r^2)^3/2 :
Vamos simplificar:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral0^R dE = -1,33 times 10^-4 times z2 varepsilon0 integral0^R r dr(z^2 + r^2)^3/2 , integramos integral r dr(z^2 + r^2)^3/2 = -1raizz^2 + r^2 de [ -1raizz^2 + r^2 ]0^R = -1raizz^2 + R^2 + 1raizz^2 até E = -1,33 times 10^-4 times z2 varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) :
Fazendo a substituição , temos , o que simplifica a integral:
Avaliando os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos os valores numéricos:
E = -1,33 times 10^-4 times 2,0 times 10^-22 times 8,85 times 10^-12 ( 12,0 times 10^-2 - 1raiz(2,0 times 10^-2)^2 + (1,25 times 10^-2)^2 )
Calculando cada parte:
  1. Fator na frente:
-1,33 times 10^-4 times 2,0 times 10^-22 times 8,85 times 10^-12 approx -2,66 times 10^-61,77 times 10^-11 approx -1,504 times 10^5 , N/C
  1. Primeiro termo dentro dos parênteses:
12,0 times 10^-2 = 50 , m^-1
  1. Segundo termo dentro dos parênteses:
raiz(2,0 times 10^-2)^2 + (1,25 times 10^-2)^2 = raiz4 times 10^-4 + 1,5625 times 10^-4 = raiz5,5625 times 10^-4 approx 2,36 times 10^-2 , m
12,36 times 10^-2 approx 42,37 , m^-1
  1. Diferença dos termos:
50 - 42,37 = 7,63 , m^-1
  1. Multiplicando tudo:
E = -1,504 times 10^5 times 7,63 approx -1,147 times 10^6 , N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto é aproximadamente , direcionado ao longo do eixo do disco na direção oposta à orientação positiva (devido à carga negativa), ou seja, apontando para o disco.

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