Uma carga de está uniformemente distribuída sobre a superfície de uma face de um disco não condutor de raio . a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse disco produz em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância de de seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma carga de -6,50 nC espalhada uniformemente sobre a superfície de uma face de um disco não condutor com raio de 1,25 cm. A pergunta é: qual é o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse disco gera em um ponto que está no eixo do disco, a 2,0 cm do centro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga em um objeto com simetria circular, como um disco. Vamos usar a integração para somar as contribuições de todas as pequenas cargas que compõem o disco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de cada elemento de carga. Como a carga está distribuída uniformemente sobre o disco, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Vamos considerar um anel infinitesimal com raio e espessura no disco. A carga nesse anel é , onde é a densidade superficial de carga.
Passo 3
A densidade superficial de carga é dada pela carga total dividida pela área do disco:
Onde:
C
m
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, para cada anel de raio e espessura , a carga é:
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto será na direção do eixo do disco (devido à simetria), e sua magnitude pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
m é a distância do ponto ao centro do disco.
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo na expressão para :
Vamos simplificar:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total , integramos de até :
Fazendo a substituição , temos , o que simplifica a integral:
Avaliando os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos os valores numéricos:
Calculando cada parte:
Fator na frente:
-1,33 times 10^-4 times 2,0 times 10^-22 times 8,85 times 10^-12 approx -2,66 times 10^-61,77 times 10^-11 approx -1,504 times 10^5 , N/C
Primeiro termo dentro dos parênteses:
12,0 times 10^-2 = 50 , m^-1
Segundo termo dentro dos parênteses:
raiz(2,0 times 10^-2)^2 + (1,25 times 10^-2)^2 = raiz4 times 10^-4 + 1,5625 times 10^-4 = raiz5,5625 times 10^-4 approx 2,36 times 10^-2 , m
12,36 times 10^-2 approx 42,37 , m^-1
Diferença dos termos:
50 - 42,37 = 7,63 , m^-1
Multiplicando tudo:
E = -1,504 times 10^5 times 7,63 approx -1,147 times 10^6 , N/C
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto é aproximadamente , direcionado ao longo do eixo do disco na direção oposta à orientação positiva (devido à carga negativa), ou seja, apontando para o disco.