• O tetravetor momento é dado por . Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição de uma partícula em relação ao seu tempo próprio .
    b) Considere agora um partícula com tetravetor momento e tetravelocidade , observada por um observador S. Prove que a energia da partícula, medida por esse observador, é o produto escalar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que a energia de uma partícula, medida por um observador , é igual ao produto escalar entre o tetravetor momento e o tetravelocidade . Para isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, especificamente tetravetores e produto escalar no espaço-tempo. Precisamos lembrar como são definidos e , e como calcular o produto escalar deles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições dos tetravetores envolvidos:
  • O tetravetor momento é dado por:
    onde é a energia da partícula, é a velocidade da luz, e é o vetor momento.
  • O tetravelocidade é a derivada da posição em relação ao tempo próprio :
    onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois tetravetores no espaço-tempo. O produto escalar é dado por:
Note que usamos a métrica de Minkowski, onde o produto escalar envolve a componente temporal multiplicada e subtrai o produto das componentes espaciais.

Passo 4

Simplificando a expressão do produto escalar:
Sabemos que para uma partícula, a energia total está relacionada ao momento e à velocidade pela relação:
e o momento é:
Substituindo esses valores na expressão anterior:

Passo 5

Fatorando na expressão:
Sabemos que:
Portanto:
Substituindo isso na equação:
Já que:
Então:

Resposta

A energia da partícula, medida pelo observador , é igual a , que corresponde exatamente ao produto escalar . Portanto, .

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