• O tetravetor momento é dado por P=(E / c, p). Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição X=(c t, r) de uma partícula em relação ao seu tempo próprio tau.
    b) Considere agora um partícula com tetravetor momento P e tetravelocidade U, observada por um observador S. Prove que a energia da partícula, medida por esse observador, é o produto escalar P cdot U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que a energia de uma partícula, medida por um observador , é igual ao produto escalar entre o tetravetor momento e o tetravelocidade . Para isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, especificamente tetravetores e produto escalar no espaço-tempo. Precisamos lembrar como são definidos e , e como calcular o produto escalar deles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições dos tetravetores envolvidos:
  • O tetravetor momento é dado por:
    P = (Ec, p)
    onde U = dXdtau = gamma (c, v) é a energia da partícula, é a velocidade da luz, e é o vetor momento.
  • O tetravelocidade é a derivada da posição em relação ao tempo próprio :
    onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois tetravetores no espaço-tempo. O produto escalar P cdot U = Ec cdot gamma c - p cdot gamma v é dado por:
Note que usamos a métrica de Minkowski, onde o produto escalar envolve a componente temporal multiplicada e subtrai o produto das componentes espaciais.

Passo 4

Simplificando a expressão do produto escalar:
P cdot U = gamma E - gamma p cdot v
Sabemos que para uma partícula, a energia total E = gamma m c^2 está relacionada ao momento e à velocidade pela relação:
p = gamma m v
e o momento P cdot U = gamma (gamma m c^2) - gamma (gamma m v cdot v) = gamma^2 m c^2 - gamma^2 m v^2 é:
Substituindo esses valores na expressão anterior:

Passo 5

Fatorando P cdot U = gamma^2 m (c^2 - v^2) na expressão:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Sabemos que:
gamma^2 = 11 - v^2c^2
Portanto:
P cdot U = m (c^2 - v^2)1 - v^2c^2 = m c^2
Substituindo isso na equação:
c^2 - v^2 = c^2 (1 - v^2c^2)
Já que:
P cdot U = m c^2
Então:

Resposta

A energia da partícula, medida pelo observador , é igual a , que corresponde exatamente ao produto escalar . Portanto, .

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