- O tetravetor momento é dado por
. Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição
de uma partícula em relação ao seu tempo próprio
.
b) Considere agora um partícula com tetravetor momento
e tetravelocidade
, observada por um observador S. Prove que a energia da partícula, medida por esse observador, é o produto escalar
.
b) Considere agora um partícula com tetravetor momento
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que a energia de uma partícula, medida por um observador
, é igual ao produto escalar entre o tetravetor momento
e o tetravelocidade
. Para isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, especificamente tetravetores e produto escalar no espaço-tempo. Precisamos lembrar como são definidos
e
, e como calcular o produto escalar deles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições dos tetravetores envolvidos:
-
O tetravetor momento é dado por:onde
é a energia da partícula, é a velocidade da luz, e é o vetor momento. -
O tetravelocidade é a derivada da posição
em relação ao tempo próprio : ondeé o fator de Lorentz e é a velocidade da partícula.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois tetravetores no espaço-tempo. O produto escalar
é dado por:
Note que usamos a métrica de Minkowski, onde o produto escalar envolve a componente temporal multiplicada e subtrai o produto das componentes espaciais.
Passo 4
Simplificando a expressão do produto escalar:
Sabemos que para uma partícula, a energia total
está relacionada ao momento e à velocidade pela relação:
e o momento
é:
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Passo 5
Fatorando
na expressão:
Sabemos que:
Portanto:
Substituindo isso na equação:
Já que:
Então:
Resposta
A energia da partícula, medida pelo observador
, é igual a
, que corresponde exatamente ao produto escalar
. Portanto,
.