A carga P aplicada ao pino de aço é distribuída para o suporte de madeira por uma arruela anelar. O diâmetro do pino é de 22 mm e o diâmetro interno da arruela é de 25 mm , sendo este ligeiramente maior que o diâmetro do orifício. Determine o menor diâmetro externo d admissível da arruela, sabendo que a tensão normal axial no pino de aço é de 35 MPa e a tensão média de contato entre a arruela e a madeira não pode exceder 5 MPa .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um pino de aço com diâmetro de 22 mm que recebe uma carga . Essa carga é distribuída para um suporte de madeira através de uma arruela anelar. A arruela tem um diâmetro interno de 25 mm, que é um pouquinho maior que o diâmetro do orifício do pino. A gente precisa encontrar o menor diâmetro externo que essa arruela pode ter, garantindo que:
  1. A tensão axial no pino de aço não ultrapasse 35 MPa.
  2. A tensão média de contato entre a arruela e a madeira não passe de 5 MPa.
Para resolver isso, vamos precisar entender de resistência dos materiais, especificamente de como calcular tensões em componentes sujeitos a cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a carga sigma = PA que está agindo no pino de aço. Sabemos que a tensão axial P = sigma times A no pino é dada por:
A = pi d^24
Onde:
  • A = pi (22)^24 = pi times 4844 = 121pi , mm^2 é a tensão axial (35 MPa),
  • P = 35 times 10^6 , Pa times 121pi times 10^-6 , m^2 = 35 times 121pi , N é a carga,
  • P approx 35 times 121 times 3,1416 approx 13.329 times 10^3 , N é a área da seção transversal do pino.
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar :
A área do pino é a área de um círculo:
Com o diâmetro mm:
Agora, substituindo na fórmula de :
Então, a carga é aproximadamente 13.329 kN.

Passo 3

Agora que temos a carga tau = PAc , vamos olhar para a arruela. A arruela distribui essa carga Ac = Ptau sobre uma área em contato com a madeira. A tensão média de contato Ac = 13.329 times 10^3 , N5 times 10^6 , Pa = 13.329 times 10^35 times 10^6 = 2.666 times 10^-3 , m^2 é dada por:
Ac = 2.666 times 10^-3 times 10^6 = 2.666 times 10^3 , mm^2
Onde:
  • é a tensão de contato (máximo 5 MPa),
  • é a área de contato da arruela com a madeira.
Queremos encontrar o diâmetro externo da arruela que garante que MPa. Reorganizando a fórmula:
Substituindo os valores:
Convertendo para :

Passo 4

A área de contato Ac = pi d^24 - pi (25)^24 = pi (d^2 - 625)4 da arruela com a madeira é a área do anel formado pelo diâmetro externo pi (d^2 - 625)4 = 2.666 times 10^3 e o diâmetro interno de 25 mm. A área de um anel é calculada pela diferença entre as áreas dos dois círculos.
d^2 - 625 = 4 times 2.666 times 10^3pi approx 10.664 times 10^33.1416 approx 3.398 times 10^3
Sabemos que d^2 = 3.398 times 10^3 + 625 approx 3.398 times 10^3 + 625 = 4.023 times 10^3 , então:
d = raiz4.023 times 10^3 approx 63.43 , mm
Vamos resolver para :

Resposta

O menor diâmetro externo admissível da arruela é aproximadamente 63,43 mm.

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