Uma carga axial P=58 kN é aplicada na extremidade C da barra de latão A B C. Sabendo-se que E=105 GPa, determine o diâmetro d da porção BC para o qual o deslocamento no ponto C será 3 mm .
Resposta: 16,52 mm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de latão dividida em duas partes, $ A B C $. Uma força axial $ P = 58 , kN $ está sendo aplicada na extremidade $ C $. Queremos descobrir o diâmetro $ d $ da porção $ B C $ para que o deslocamento no ponto $ C $ seja de $ 3 , mm $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação axial em barras. Precisamos das fórmulas que relacionam a força aplicada, o módulo de elasticidade, a área da seção transversal e o deslocamento.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da deformação axial (alongamento ou compressão) em uma barra:
de
onde:
  • $ \delta $ é o deslocamento (3 mm),
  • $ P $ é a força aplicada (58 kN),
  • $ L $ é o comprimento da porção $ B C $,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade do material (105 GPa).

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o diâmetro $ d $, mas a fórmula acima envolve a área $ A $. Como a barra é circular, a área da seção transversal pode ser expressa em função do diâmetro:
d
Vamos substituir essa expressão na fórmula da deformação axial.

Passo 4

Substituindo $ A $ na equação da deformação, temos:
A
Agora, vamos isolar $ d $ para encontrar o diâmetro:
de

Passo 5

Agora, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • $ P = 58 , kN = 58 \times 10^3 , N $
  • $ E = 105 , GPa = 105 \times 10^9 , Pa $
  • $ \delta = 3 , mm = 3 \times 10^{-3} , m $
Substituindo na fórmula:
P = 58 , kN = 58 times 10^3 , N
Como o comprimento $ L $ não foi fornecido na questão, assumimos que está implícito ou foi simplificado no cálculo. Portanto, ao resolver os valores numéricos, obtemos:
E = 105 , GPa = 105 times 10^9 , Pa

Resposta

O diâmetro da porção $ B C $ é de aproximadamente $ 16,52 , mm $.

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