Embora muitos não saibam, a Lei de Gauss é uma lei do cálculo vetorial, podendo tanto ser aplicada ao eletromagnetismo, quanto a gravitação universal. Para essa última, a Lei de Gauss pode ser usada para o cálculo do campo gravitacional a partir da seguinte equação:
Onde o termo
denota a massa encerrada por uma superfície gaussiana que envolve uma distribuição de massa. Com base nisso, determine:
(A) O campo gravitacional criado por uma distribuição de massa em uma reta infinita e homogênea.
(B) O campo gravitacional criado por uma esfera homogênea e maciça de raio
, para pontos
e
.
© O campo gravitacional de um plano infinito e homogêneo de massa.
(A) O campo gravitacional criado por uma distribuição de massa em uma reta infinita e homogênea.
(B) O campo gravitacional criado por uma esfera homogênea e maciça de raio
© O campo gravitacional de um plano infinito e homogêneo de massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei de Gauss na gravitação. O enunciado nos pede para encontrar o campo gravitacional em três situações diferentes: uma linha infinita de massa, uma esfera maciça e um plano infinito. Para isso, vamos usar a equação da Lei de Gauss para gravitação:
Aqui,
é o campo gravitacional,
é a constante gravitacional, e
é a massa dentro da superfície gaussiana que escolhemos. Vamos precisar entender como escolher essa superfície para cada caso e aplicar a simetria para simplificar os cálculos.
Passo 2
Parte A: Campo gravitacional de uma linha infinita e homogênea
Primeiro, imaginamos uma linha infinita com densidade linear de massa
(massa por unidade de comprimento). Para usar a Lei de Gauss, escolhemos um cilindro coaxial com a linha de massa. A simetria cilíndrica nos ajuda aqui.
A área lateral do cilindro é
, onde
é a distância da linha e
é o comprimento do cilindro. O fluxo gravitacional é
. A massa encerrada é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
O sinal negativo indica que o campo é dirigido para a linha de massa.
Passo 3
Parte B: Campo gravitacional de uma esfera homogênea e maciça
Aqui, temos uma esfera de raio
e massa total
. Vamos considerar dois casos: pontos dentro (
) e fora (
) da esfera.
Para
: A massa encerrada é
. Escolhemos uma superfície esférica de raio
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Esse é o mesmo campo de uma massa pontual.
Para
: A massa encerrada é proporcional ao volume:
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Aqui, o campo aumenta linearmente com a distância do centro.
Passo 4
Parte C: Campo gravitacional de um plano infinito e homogêneo
Para um plano infinito com densidade superficial de massa
, usamos uma superfície gaussiana em forma de “caixa” (paralelepípedo) perpendicular ao plano.
O fluxo gravitacional será através das duas faces paralelas ao plano. Cada face tem área
, então o fluxo total é
. A massa encerrada é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
O campo é constante e perpendicular ao plano.
Resposta
(A) O campo gravitacional de uma linha infinita é $ g = -\frac{2G\lambda}{r} $.
(B) Para uma esfera homogênea:
- Se $ r \leq R $, $ g = -\frac{G M}{R^3} r $.
- Se $ r > R $, $ g = -\frac{G M}{r^2} $.
© O campo gravitacional de um plano infinito é $ g = -2 \pi G \sigma $.