Embora muitos não saibam, a Lei de Gauss é uma lei do cálculo vetorial, podendo tanto ser aplicada ao eletromagnetismo, quanto a gravitação universal. Para essa última, a Lei de Gauss pode ser usada para o cálculo do campo gravitacional a partir da seguinte equação:
ointS g cdot d A=-4 pi G m(e n c)
Onde o termo m(e n c) denota a massa encerrada por uma superfície gaussiana que envolve uma distribuição de massa. Com base nisso, determine:
(A) O campo gravitacional criado por uma distribuição de massa em uma reta infinita e homogênea.
(B) O campo gravitacional criado por uma esfera homogênea e maciça de raio R, para pontos r <= R e r>R.
© O campo gravitacional de um plano infinito e homogêneo de massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei de Gauss na gravitação. O enunciado nos pede para encontrar o campo gravitacional em três situações diferentes: uma linha infinita de massa, uma esfera maciça e um plano infinito. Para isso, vamos usar a equação da Lei de Gauss para gravitação:
ointS g cdot d A = -4 pi G menc
Aqui, g é o campo gravitacional, G é a constante gravitacional, e menc é a massa dentro da superfície gaussiana que escolhemos. Vamos precisar entender como escolher essa superfície para cada caso e aplicar a simetria para simplificar os cálculos.

Passo 2

Parte A: Campo gravitacional de uma linha infinita e homogênea
Primeiro, imaginamos uma linha infinita com densidade linear de massa lambda (massa por unidade de comprimento). Para usar a Lei de Gauss, escolhemos um cilindro coaxial com a linha de massa. A simetria cilíndrica nos ajuda aqui.
A área lateral do cilindro é 2pi r L, onde r é a distância da linha e L é o comprimento do cilindro. O fluxo gravitacional é g times 2pi r L. A massa encerrada é lambda L.
Aplicando a Lei de Gauss:
g times 2pi r L = -4 pi G lambda L
Simplificando:
g = -2Glambdar
O sinal negativo indica que o campo é dirigido para a linha de massa.

Passo 3

Parte B: Campo gravitacional de uma esfera homogênea e maciça
Aqui, temos uma esfera de raio R e massa total M. Vamos considerar dois casos: pontos dentro ( r <= R) e fora ( r > R) da esfera.
Para r > R: A massa encerrada é M. Escolhemos uma superfície esférica de raio r.
Aplicando a Lei de Gauss:
g times 4pi r^2 = -4 pi G M
Simplificando:
g = -G Mr^2
Esse é o mesmo campo de uma massa pontual.
Para r <= R: A massa encerrada é proporcional ao volume: menc = M (r^3R^3).
Aplicando a Lei de Gauss:
g times 4pi r^2 = -4 pi G M (r^3R^3)
Simplificando:
g = -G MR^3 r
Aqui, o campo aumenta linearmente com a distância do centro.

Passo 4

Parte C: Campo gravitacional de um plano infinito e homogêneo
Para um plano infinito com densidade superficial de massa sigma, usamos uma superfície gaussiana em forma de “caixa” (paralelepípedo) perpendicular ao plano.
O fluxo gravitacional será através das duas faces paralelas ao plano. Cada face tem área A, então o fluxo total é 2gA. A massa encerrada é sigma A.
Aplicando a Lei de Gauss:
2gA = -4 pi G sigma A
Simplificando:
g = -2 pi G sigma
O campo é constante e perpendicular ao plano.

Resposta

(A) O campo gravitacional de uma linha infinita é $ g = -\frac{2G\lambda}{r} $.
(B) Para uma esfera homogênea:
  • Se $ r \leq R $, $ g = -\frac{G M}{R^3} r $.
  • Se $ r > R $, $ g = -\frac{G M}{r^2} $.
© O campo gravitacional de um plano infinito é $ g = -2 \pi G \sigma $.

Exercícios relacionados