Determine a densidade superficial de carga
em um local do plano a uma distância
do ponto mais próximo da carga
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a densidade superficial de carga, representada por
, em um ponto do plano que está a uma distância
do ponto mais próximo de uma carga
. Aqui, estamos lidando com Eletrostática, especificamente com a distribuição de cargas em superfícies próximas a cargas pontuais. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma carga elétrica induz uma distribuição de carga em um plano condutor próximo.
Passo 2
Primeiro, imagine que temos uma carga pontual
próxima a um plano condutor. Para facilitar nossos cálculos, usamos o método das imagens. Esse método nos ajuda a substituir o efeito do plano condutor por uma imagem fictícia da carga, chamada carga imagem. No nosso caso, a carga imagem será
, posicionada a uma distância igual e oposta em relação ao plano.
Passo 3
Agora, para encontrar a densidade superficial de carga
no ponto a uma distância
do ponto mais próximo da carga
, usamos a lei de Coulomb combinada com o método das imagens. A densidade de carga em um ponto do plano é influenciada pela interação entre a carga real
e a carga imagem
.
Passo 4
A fórmula para a densidade superficial de carga
derivada desse arranjo é dada por:
Aqui,
é a distância vertical entre a carga
e o plano. A expressão nos mostra como a densidade de carga decai com a distância
no plano.
Passo 5
Vamos interpretar a fórmula: o sinal negativo indica que a carga induzida na superfície do plano tem sinal oposto à carga real
. Além disso, conforme
aumenta, a densidade de carga diminui, o que faz sentido porque a influência direta da carga
diminui à medida que nos afastamos dela no plano.
Resposta
A densidade superficial de carga é dada por