Determine a densidade superficial de carga sigma(r^prime) em um local do plano a uma distância r^prime do ponto mais próximo da carga q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a densidade superficial de carga, representada por sigma(r'), em um ponto do plano que está a uma distância r' do ponto mais próximo de uma carga q. Aqui, estamos lidando com Eletrostática, especificamente com a distribuição de cargas em superfícies próximas a cargas pontuais. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma carga elétrica induz uma distribuição de carga em um plano condutor próximo.

Passo 2

Primeiro, imagine que temos uma carga pontual q próxima a um plano condutor. Para facilitar nossos cálculos, usamos o método das imagens. Esse método nos ajuda a substituir o efeito do plano condutor por uma imagem fictícia da carga, chamada carga imagem. No nosso caso, a carga imagem será -q, posicionada a uma distância igual e oposta em relação ao plano.

Passo 3

Agora, para encontrar a densidade superficial de carga sigma(r') no ponto a uma distância r' do ponto mais próximo da carga q, usamos a lei de Coulomb combinada com o método das imagens. A densidade de carga em um ponto do plano é influenciada pela interação entre a carga real q e a carga imagem -q.

Passo 4

A fórmula para a densidade superficial de carga sigma(r') derivada desse arranjo é dada por:
sigma(r') = -q cdot d2pi (r'^2 + d^2)^3/2
Aqui, d é a distância vertical entre a carga q e o plano. A expressão nos mostra como a densidade de carga decai com a distância r' no plano.

Passo 5

Vamos interpretar a fórmula: o sinal negativo indica que a carga induzida na superfície do plano tem sinal oposto à carga real q. Além disso, conforme r' aumenta, a densidade de carga diminui, o que faz sentido porque a influência direta da carga q diminui à medida que nos afastamos dela no plano.

Resposta

A densidade superficial de carga é dada por
sigma(r') = -q cdot d2pi (r'^2 + d^2)^3/2

Exercícios relacionados