Uma carga elétrica positiva
está colocada na origem das coordenadas de um plano cartesiano, e na posição
está uma carga negativa
. Dê o valor da integral
onde
é a esfera de raio
centrada na origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre cargas elétricas e o fluxo elétrico através de uma esfera. A matéria que estamos lidando aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss nesse cenário com duas cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições. Temos uma carga positiva $ q $ na origem das coordenadas e uma carga negativa $ -2q $ na posição $ (L, 0) $. A esfera $ S® $ tem raio $ R $ e está centrada na origem, com $ R > L $. Isso significa que ambas as cargas estão dentro da esfera.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico $ \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica $ \varepsilon_0 $:
Passo 4
Vamos calcular a carga total $ Q_{enc} $ dentro da esfera $ S® $. Como $ R > L $, as duas cargas estão dentro da esfera:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss com a carga total que encontramos:
Resposta
O valor da integral é $ \displaystyle \frac{-q}{\varepsilon_0} $.