Dois planos paralelos estão no vácuo, carregados com densidade de carga de mesmo módulo, 0,042 pC / cm^2, e sinal oposto. A distância entre os planos é de 1,2 cm, e a área dos planos é de 532 cm^2; nós supomos para todos os efeitos que os planos possam ser tratados como transversalmente infinitos. Um elétron é arrancado do plano com carga negativa (sem alterar apreciavelmente sua densidade de cargas), e acelera a partir do repouso até o plano com carga positiva, colidindo com este; com qual velocidade o elétron chega no plano positivo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve eletricidade e movimento de partículas carregadas. Especificamente, estamos lidando com dois planos paralelos carregados com densidades de carga iguais e opostas, separados por uma certa distância. Um elétron é puxado do plano negativo e acelera até chegar no plano positivo. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade o elétron chega no outro plano. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campo elétrico, força elétrica, aceleração e movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Densidade de carga dos planos: sigma = 0,042 , pC/cm^2 (picoCoulombs por centímetro quadrado).
  • Distância entre os planos: d = 1,2 , cm.
  • Área dos planos: A = 532 , cm^2.
  • Massa do elétron: m = 9,11 times 10^-31 , kg.
  • Carga do elétron: e = 1,60 times 10^-19 , C.
Vamos precisar calcular o campo elétrico entre os planos e depois usar as equações de movimento para encontrar a velocidade final do elétron.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • sigma = 0,042 , pC/cm^2 = 0,042 times 10^-12 , C/cm^2.
  • Para converter C/cm^2 para C/m^2, multiplicamos por 10^4 (já que 1 , m^2 = 10^4 , cm^2): sigma = 0,042 times 10^-12 times 10^4 = 0,042 times 10^-8 = 4,2 times 10^-10 , C/m^2
  • Distância: d = 1,2 , cm = 0,012 , m.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico ( E) entre os planos paralelos. Para dois planos infinitos com densidade de carga sigma e -sigma, o campo elétrico entre eles é dado por:
E = sigmavarepsilon0
Onde varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 é a permissividade do vácuo.
Substituindo sigma:
E = 4,2 times 10^-108,85 times 10^-12 approx 47,457 , N/C

Passo 5

Com o campo elétrico calculado, podemos encontrar a força elétrica ( F) que atua sobre o elétron:
F = eE
Substituindo os valores:
F = 1,60 times 10^-19 , C times 47,457 , N/C approx 7,59 times 10^-18 , N

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração ( a) do elétron usando a segunda lei de Newton:
F = ma implies a = Fm
Substituindo os valores:
a = 7,59 times 10^-18 , N9,11 times 10^-31 , kg approx 8,33 times 10^12 , m/s^2

Passo 7

Com a aceleração conhecida, vamos usar a equação do movimento uniformemente acelerado para encontrar a velocidade final ( v) do elétron ao chegar no plano positivo. A equação é:
v^2 = v0^2 + 2ad
Como o elétron parte do repouso, v0 = 0, então:
v = raiz2ad
Substituindo os valores:
v = raiz2 times 8,33 times 10^12 , m/s^2 times 0,012 , m approx raiz2 times 8,33 times 10^12 times 0,012
v approx raiz2 times 8,33 times 10^12 times 0,012 approx raiz2,0 times 10^11 approx 1,4 times 10^6 , m/s

Resposta

O elétron chega no plano positivo com uma velocidade aproximada de 1,4 times 10^6 , m/s.

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