Dois planos paralelos estão no vácuo, carregados com densidade de carga de mesmo módulo,
, e sinal oposto. A distância entre os planos é de
, e a área dos planos é de
; nós supomos para todos os efeitos que os planos possam ser tratados como transversalmente infinitos. Um elétron é arrancado do plano com carga negativa (sem alterar apreciavelmente sua densidade de cargas), e acelera a partir do repouso até o plano com carga positiva, colidindo com este; com qual velocidade o elétron chega no plano positivo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve eletricidade e movimento de partículas carregadas. Especificamente, estamos lidando com dois planos paralelos carregados com densidades de carga iguais e opostas, separados por uma certa distância. Um elétron é puxado do plano negativo e acelera até chegar no plano positivo. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade o elétron chega no outro plano. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campo elétrico, força elétrica, aceleração e movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Densidade de carga dos planos:
(picoCoulombs por centímetro quadrado). - Distância entre os planos:
. - Área dos planos:
. - Massa do elétron:
. - Carga do elétron:
.
Vamos precisar calcular o campo elétrico entre os planos e depois usar as equações de movimento para encontrar a velocidade final do elétron.
Passo 3
Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
-
. - Para converter
para , multiplicamos por (já que ): - Distância:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico (
) entre os planos paralelos. Para dois planos infinitos com densidade de carga
e
, o campo elétrico entre eles é dado por:
Onde
é a permissividade do vácuo.
Substituindo
:
Passo 5
Com o campo elétrico calculado, podemos encontrar a força elétrica (
) que atua sobre o elétron:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração (
) do elétron usando a segunda lei de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 7
Com a aceleração conhecida, vamos usar a equação do movimento uniformemente acelerado para encontrar a velocidade final (
) do elétron ao chegar no plano positivo. A equação é:
Como o elétron parte do repouso,
, então:
Substituindo os valores:
Resposta
O elétron chega no plano positivo com uma velocidade aproximada de
.