Um cilindro oco e infinito tem espessura muito fina e raio
. Ele apresenta uma densidade de carga por comprimento
. Encontre o valor do campo elétrico a uma distância
, e a uma distância
do eixo do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro oco e infinito com raio $ a $ e uma densidade de carga por comprimento $ \lambda $. Precisamos encontrar o campo elétrico em dois pontos: uma distância $ \frac{a}{2} $ (que está dentro do cilindro) e outra distância $ 2a $ (fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é ótima para calcular campos elétricos com certas simetrias, como a de um cilindro infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica $ \varepsilon_0 $:
No nosso caso, como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro concêntrico com o cilindro carregado.
Passo 3
Vamos primeiro calcular o campo elétrico a uma distância $ r = \frac{a}{2} $ do eixo do cilindro, ou seja, dentro do cilindro. Como o cilindro é oco e a carga está apenas na casca, a carga dentro da nossa superfície gaussiana (que está dentro do cilindro oco) é zero:
Aplicando a Lei de Gauss:
Como a simetria indica que o campo elétrico $ \vec{E} $ é constante em magnitude e radial, o fluxo elétrico será:
Então, o campo elétrico dentro do cilindro é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico a uma distância $ r = 2a $ do eixo do cilindro, ou seja, fora do cilindro. Nesta situação, toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana.
A carga total dentro da superfície gaussiana é:
onde $ L $ é o comprimento do nosso cilindro gaussiano.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico é:
Simplificando:
Substituindo $ r = 2a $:
Resposta
O campo elétrico a uma distância $ \frac{a}{2} $ do eixo do cilindro é zero. Já a uma distância $ 2a $, o campo elétrico é $ E = \dfrac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} $.