Uma partícula carregada, de massa m e carga de valor absoluto |q|, que se move com uma velocidade v perpendicular a um campo magnético uniforme, descreve uma trajetória circular com uma frequência f. Mostre que a frequência é dada por:
f=|q| B2 pi m

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que tem uma carga elétrica de valor absoluto $ |q| $ e uma massa $ m $. Ela está se movendo com uma velocidade $ \vec{v} $ perpendicular a um campo magnético uniforme $ \vec{B} $. O exercício pede pra gente mostrar que a frequência da trajetória circular dessa partícula é dada por:
|q|
Vamos precisar entender como a força magnética age na partícula e como isso faz ela se mover em círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre uma força magnética $ \vec{F} $ dada por:
F
Como a velocidade $ \vec{v} $ é perpendicular ao campo $ \vec{B} $, o módulo dessa força fica:
F = q , v times B
Essa força é sempre perpendicular à velocidade, então ela não faz a partícula acelerar nem desacelerar, mas muda a direção da velocidade, fazendo a partícula seguir uma trajetória circular.

Passo 3

Agora, sabendo que a força magnética está agindo como a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular, a gente pode igualar a força magnética à força centrípeta $ F_c $:
Fc
Então:
Fc = m v^2r

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar o raio $ r $ da trajetória:
r
Isso nos mostra que o raio depende da massa, velocidade, carga e do campo magnético.

Passo 5

A frequência $ f $ é o número de voltas que a partícula dá por segundo. A relação entre a frequência e o período $ T $ (tempo para uma volta) é:
f
Sabemos que o período $ T $ é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa, que é:
T

Passo 6

Substituindo $ r $ da Passo 4 na expressão do período:
r
Agora, substituindo $ T $ na fórmula da frequência:
T = 2 pi ( m v|q| B )v = 2 pi m|q| B

Resposta

A frequência da partícula é dada por:
f = |q| B2 pi m

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