Uma carga de impedancia Z=100-j 20 Omega, que fica distante do quadro de distribuição, aceita uma variação na alimentação entre 200 e 240 V . Sabendo que a impedânica do cabo é de ZL=2+j 3 Omega por metro e que a fonte de alimentação é de 220 V , qual a distância máxima que esse alimentador permite o suprimento adequado dessa carga?
Resposta:

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve circuitos elétricos, especificamente análise de impedâncias e quedas de tensão. Temos uma carga com impedância que está ligada a uma fonte de alimentação de . A carga aceita variações de tensão entre e . Além disso, o cabo que conecta a fonte à carga tem uma impedância por metro de . Nosso objetivo é determinar a distância máxima que esse alimentador pode ter para garantir que a tensão na carga permaneça dentro dos limites aceitáveis.
Para resolver isso, precisaremos aplicar conceitos de circuitos de corrente alternada, como impedância total, quedas de tensão e relação entre tensão, corrente e impedância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a impedância total do circuito é composta pela impedância da carga Ztotal = Z + Zcabo = Z + ZL times d e pela impedância do cabo . Como o cabo está a uma distância metros da fonte, a impedância total do cabo será .
Portanto, a impedância total do circuito será:

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente que circula no circuito usando a Lei de Ohm para AC:
I = VfonteZtotal = 220100 - j20 + (2 + j3)d
Para facilitar os cálculos, vamos separar as partes real e imaginária da impedância total:
Ztotal = (100 + 2d) + j(-20 + 3d)

Passo 4

A queda de tensão no cabo De é dada por:
Queremos que a tensão na carga esteja entre e . Isso significa que a queda de tensão no cabo não pode reduzir a tensão da fonte abaixo de nem aumentá-la acima de .

Passo 5

Vamos considerar a condição mais restritiva, que é garantir que a tensão na carga não seja inferior a De. Portanto, a queda de tensão máxima permitida é:

Passo 6

Substituindo De na equação da corrente:
I = 220(100 + 2d) + j(-20 + 3d)
Para encontrar |I| = 220raiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 , precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
A magnitude da corrente é:

Passo 7

Substituindo |I| times raiz2^2 + 3^2 times d <= 20 na equação da queda de tensão:
220raiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 times raiz13 times d <= 20

Passo 8

Isolando 220 times raiz13 times draiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 <= 20 :
220 times raiz13 times d20 times raiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 <= 1
Dividindo ambos os lados por 20:
11 times raiz13 times draiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 <= 1
Simplificando:

Passo 9

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
( 11 times raiz13 times draiz(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 )^2 <= 1
(11 times raiz13)^2 times d^2(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 <= 1
Calculando 1573 times d^2(100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2 <= 1 :

Passo 10

Multiplicando ambos os lados pela expressão no denominador:
1573 times d^2 <= (100 + 2d)^2 + (-20 + 3d)^2
Expandindo os quadrados:
1573d^2 <= (100)^2 + 2 times 100 times 2d + (2d)^2 + (-20)^2 + 2 times (-20) times 3d + (3d)^2
1573d^2 <= 10000 + 400d + 4d^2 + 400 - 120d + 9d^2
Simplificando:
1573d^2 <= 10400 + 280d + 13d^2

Passo 11

Levantando todos os termos para o lado esquerdo:
1573d^2 - 13d^2 - 280d - 10400 <= 0
1560d^2 - 280d - 10400 <= 0

Passo 12

Dividindo toda a equação por 40 para simplificar:
39d^2 - 7d - 260 <= 0
Agora, temos uma inequação quadrática:
39d^2 - 7d - 260 <= 0

Passo 13

Vamos resolver a equação quadrática associada:
39d^2 - 7d - 260 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
d = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, raizDe, e .
Calculando o discriminante:

Passo 14

Calculando as raízes:
d = 7 pm 201.5278
Considerando apenas a solução positiva:
d = 7 + 201.5278 approx 208.5278 approx 2.672 , m

Passo 15

Como a inequação quadrática é satisfeita entre as raízes da equação, e considerando que a distância não pode ser negativa, a distância máxima permitida é de aproximadamente .

Resposta

A distância máxima que o alimentador permite para suprir adequadamente a carga é de aproximadamente 2,67 metros.

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