Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,a) e outra carga também negativa e de mesmo valor q, está na posição .
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas na origem.
b) se , qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste colocada na origem? Considere m.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas cargas negativas, ambas de valor q, localizadas nas posições (a, 0, a) e (a, a, a) no espaço tridimensional. O conteúdo da matéria que vamos usar aqui envolve o campo elétrico gerado por cargas pontuais e a força elétrica entre cargas. Precisaremos das fórmulas do campo elétrico produzido por uma carga pontual e da Lei de Coulomb para calcular a força resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual. O campo elétrico E produzido por uma carga q em um ponto P é dado por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto P,
  • é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico na origem devido a cada uma das cargas. Primeiro, identifiquemos as posições das cargas e as distâncias até a origem.
Para a carga na posição (a, 0, a):
  • Vetor posição:
  • Distância até a origem:
  • Vetor unitário:
Para a carga na posição (a, a, a):
  • Vetor posição:
  • Distância até a origem:
  • Vetor unitário:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico para cada carga.
Para a primeira carga:
Simplificando:
Para a segunda carga:
Simplificando:

Passo 5

O campo elétrico total na origem é a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada carga:
Vamos somar as componentes correspondentes:
Componente x:
Componente y:
Componente z:

Passo 6

Agora, vamos simplificar as expressões. Para isso, vamos combinar os termos com o mesmo denominador.
Primeiro, vamos encontrar um denominador comum para os coeficientes: 24 π ε₀ a².
Reescrevendo os coeficientes:
Para e :
Somando:
Para :

Passo 7

Deixando a expressão do campo elétrico total na origem de forma mais limpa, temos:

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular a força resultante que atua sobre uma carga de teste colocada na origem. Sabemos que a força elétrica F sobre uma carga de teste em um campo elétrico E é dada por:
Vamos usar a expressão do campo elétrico que encontramos na parte (a) e substituir os valores fornecidos.

Passo 9

Primeiro, vamos substituir os valores numéricos:

Passo 10

Vamos calcular cada componente da força.
Primeiro, calculando :
Calculando:
Simplificando:

Passo 11

Agora, multiplicamos cada componente do campo elétrico pelo valor da carga de teste :
Calculando cada componente:

Resposta

O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste na origem é aproximadamente:

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Determinar:
C) a potência útil desenvolvida, nas unidades de medida kW, HP e CV.
Dados:
Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga .
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em , mostrando que ele é dado por: .
b) sem fazer contas, você sabe que o campo para r>R é dado por
ã
dá o mesmo valor para a expressão para quando fazemos . O que isso significa?