Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,a) e outra carga também negativa e de mesmo valor q, está na posição (a, a, a).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas na origem.
b) se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=2,00 n C colocada na origem? Considere a=1,0 m.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas cargas negativas, ambas de valor q, localizadas nas posições (a, 0, a) e (a, a, a) no espaço tridimensional. O conteúdo da matéria que vamos usar aqui envolve o campo elétrico gerado por cargas pontuais e a força elétrica entre cargas. Precisaremos das fórmulas do campo elétrico produzido por uma carga pontual e da Lei de Coulomb para calcular a força resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual. O campo elétrico E produzido por uma carga q em um ponto P é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 cdot r
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto P,
  • é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico na origem devido a cada uma das cargas. Primeiro, identifiquemos as posições das cargas e as distâncias até a origem.
Para a carga na posição (a, 0, a):
  • Vetor posição:
  • Distância até a origem:
  • Vetor unitário:
Para a carga na posição (a, a, a):
  • Vetor posição:
  • Distância até a origem:
  • Vetor unitário:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico para cada carga.
Para a primeira carga:
E1 = 14pivarepsilon0 cdot q(araiz2)^2 cdot (1raiz2, 0, 1raiz2) = 14pivarepsilon0 cdot q2a^2 cdot (1raiz2, 0, 1raiz2)
Simplificando:
E1 = q8pivarepsilon0 a^2 cdot (1raiz2, 0, 1raiz2)
Para a segunda carga:
E2 = 14pivarepsilon0 cdot q(araiz3)^2 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3) = 14pivarepsilon0 cdot q3a^2 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)
Simplificando:
E2 = q12pivarepsilon0 a^2 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Passo 5

O campo elétrico total na origem é a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada carga:
Etotal = E1 + E2
Vamos somar as componentes correspondentes:
Componente x:
Ex = q8pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz2 + q12pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz3
Componente y:
Ey = 0 + q12pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz3 = q12pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz3
Componente z:
Ez = q8pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz2 + q12pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz3

Passo 6

Agora, vamos simplificar as expressões. Para isso, vamos combinar os termos com o mesmo denominador.
Primeiro, vamos encontrar um denominador comum para os coeficientes: 24 π ε₀ a².
Reescrevendo os coeficientes:
Para q8pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz2 = 3q24pivarepsilon0 a^2 raiz2 e q12pivarepsilon0 a^2 cdot 1raiz3 = 2q24pivarepsilon0 a^2 raiz3 :
Ex = Ez = 3q24pivarepsilon0 a^2 raiz2 + 2q24pivarepsilon0 a^2 raiz3 = q8pivarepsilon0 a^2 (3raiz2 + 2raiz3)
Ey = 2q24pivarepsilon0 a^2 raiz3 = q12pivarepsilon0 a^2 raiz3
Somando:
Para :

Passo 7

Deixando a expressão do campo elétrico total na origem de forma mais limpa, temos:
Etotal = ( q8pivarepsilon0 a^2 (3raiz2 + 2raiz3), q12pivarepsilon0 a^2 raiz3, q8pivarepsilon0 a^2 (3raiz2 + 2raiz3) )

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular a força resultante que atua sobre uma carga de teste F = q0 cdot E colocada na origem. Sabemos que a força elétrica F sobre uma carga de teste em um campo elétrico E é dada por:
Vamos usar a expressão do campo elétrico que encontramos na parte (a) e substituir os valores fornecidos.

Passo 9

Primeiro, vamos substituir os valores numéricos:

Passo 10

Vamos calcular cada componente da força.
Primeiro, calculando Etotal = ( 5 times 10^-98 pi times 8,854 times 10^-12 times 1^2 (3raiz2 + 2raiz3), 5 times 10^-912 pi times 8,854 times 10^-12 times 1^2 raiz3, 5 times 10^-98 pi times 8,854 times 10^-12 times 1^2 (3raiz2 + 2raiz3) ) :
Etotal approx ( 5 times 10^-92,231 times 10^-10 (2,121 + 1,155), 5 times 10^-93,362 times 10^-10 times 1,155, 5 times 10^-92,231 times 10^-10 (2,121 + 1,155) )
Calculando:
Etotal approx (22,43 times 3,276, 14,89 times 1,155, 22,43 times 3,276)
Simplificando:
Etotal approx (73,4 , N/C, 17,2 , N/C, 73,4 , N/C)

Passo 11

Agora, multiplicamos cada componente do campo elétrico pelo valor da carga de teste F = q0 cdot Etotal = 2,00 times 10^-9 times (73,4, , 17,2, , 73,4) , N/C :
Fx = 2,00 times 10^-9 times 73,4 = 1,468 times 10^-7 , N
Calculando cada componente:
Fy = 2,00 times 10^-9 times 17,2 = 3,44 times 10^-8 , N
Fz = 2,00 times 10^-9 times 73,4 = 1,468 times 10^-7 , N

Resposta

O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste na origem é aproximadamente:
F = (1,468 times 10^-7 , N, , 3,44 times 10^-8 , N, , 1,468 times 10^-7 , N)

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