Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga rho>0.
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em r, mostrando que ele é dado por: E=Q4 pi epsilon0 R^3 r.
b) sem fazer contas, você sabe que o campo para r>R é dado por
E=Q4 pi epsilon0 r^2 r Mostre que a expressão encontrada na <=tra a) ã
dá o mesmo valor para a expressão para r>R quando fazemos r=R. O que isso significa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre eletricidade, mais especificamente sobre campo elétrico em um dielétrico esférico com carga distribuída uniformemente. O que precisamos usar para resolver isso é a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria. Então, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro da esfera (quando r < R).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo, ε₀. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qdentroepsilon0

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga ρ é constante. Sabemos que a carga total Q é distribuída no volume da esfera, então:
rho = Q43 pi R^3

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico dentro da esfera (r < R), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r < R, concentricamente com o dielétrico. Devido à simetria, o campo elétrico E tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial. Então, o fluxo elétrico é:
oint E cdot dA = E cdot 4 pi r^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a carga Q_{dentro} que está dentro da nossa superfície gaussiana de raio r. Como a carga está uniformemente distribuída:
Qdentro = rho cdot 43 pi r^3 = Q cdot ( r^3R^3 )

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4 pi r^2 = Q cdot ( r^3R^3 )epsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4 pi epsilon0 R^3 cdot r
Como o campo é radial, podemos escrever o vetor campo elétrico como:
E = Q4 pi epsilon0 R^3 r

Resposta

Então, aplicando a Lei de Gauss, mostramos que o vetor campo elétrico dentro do dielétrico é dado por:
E = Q4 pi epsilon0 R^3 r

Exercícios relacionados