Uma carga pontual de 1,8 mu C está no centro de uma superfície gaussiana esférica de raio igual a 15 cm . Qual é o campo elétrico na superfície da gaussiana? Se a esfera tivesse raio de 20 cm , qual seria o valor do campo elétrico na sua superfície?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma carga pontual de no centro de duas superfícies gaussiana esféricas com raios de 15 cm e 20 cm. Vamos usar os conceitos de campo elétrico e a Lei de Gauss para descobrir o campo elétrico em cada uma dessas superfícies. Precisamos lembrar das fórmulas da Lei de Gauss e de como calcular o campo elétrico de uma carga pontual.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Essa lei nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos simetria, como no caso de uma esfera. A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície gaussiana, é a carga total dentro da superfície, e é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Como temos uma esfera e a carga está no centro, o campo elétrico E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 é igual em toda a superfície gaussiana e aponta radialmente para fora. Isso simplifica a integral na Lei de Gauss. Podemos reescrever a equação como:
Onde é o campo elétrico na superfície, e é o raio da superfície gaussiana.

Passo 4

Agora, vamos resolver para E = Q4pi varepsilon0 r^2 :
Essa fórmula nos dá o campo elétrico a uma distância de uma carga pontual .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico na superfície com raio de 15 cm (0,15 m). Substituindo os valores na fórmula:
E = 1,8 times 10^-6 , C4pi times 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 times (0,15)^2 , m^2

Passo 6

Calculando o denominador:
4pi times 8,85 times 10^-12 times (0,15)^2 = 4 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,0225 approx 2,81 times 10^-12

Passo 7

Agora, dividindo a carga pelo denominador:
E = 1,8 times 10^-62,81 times 10^-12 approx 6,4 times 10^5 , N/C

Passo 8

Segundo, vamos calcular o campo elétrico na superfície com raio de 20 cm (0,20 m) usando a mesma fórmula:
E = 1,8 times 10^-64pi times 8,85 times 10^-12 times (0,20)^2

Passo 9

Calculando o denominador:
4pi times 8,85 times 10^-12 times (0,20)^2 = 4 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,04 approx 4,47 times 10^-12

Passo 10

Dividindo a carga pelo denominador:
E = 1,8 times 10^-64,47 times 10^-12 approx 4,03 times 10^5 , N/C

Resposta

O campo elétrico na superfície gaussiana com raio de 15 cm é aproximadamente e na superfície com raio de 20 cm é aproximadamente .

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