Uma carga pontual de
está no centro de uma superfície gaussiana esférica de raio igual a 15 cm . Qual é o campo elétrico na superfície da gaussiana? Se a esfera tivesse raio de 20 cm , qual seria o valor do campo elétrico na sua superfície?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma carga pontual de
no centro de duas superfícies gaussiana esféricas com raios de 15 cm e 20 cm. Vamos usar os conceitos de campo elétrico e a Lei de Gauss para descobrir o campo elétrico em cada uma dessas superfícies. Precisamos lembrar das fórmulas da Lei de Gauss e de como calcular o campo elétrico de uma carga pontual.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Essa lei nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos simetria, como no caso de uma esfera. A fórmula da Lei de Gauss é:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro da superfície, e
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 3
Como temos uma esfera e a carga está no centro, o campo elétrico
é igual em toda a superfície gaussiana e aponta radialmente para fora. Isso simplifica a integral na Lei de Gauss. Podemos reescrever a equação como:
Onde
é o campo elétrico na superfície, e
é o raio da superfície gaussiana.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Essa fórmula nos dá o campo elétrico a uma distância
de uma carga pontual
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico na superfície com raio de 15 cm (0,15 m). Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando o denominador:
Passo 7
Agora, dividindo a carga pelo denominador:
Passo 8
Segundo, vamos calcular o campo elétrico na superfície com raio de 20 cm (0,20 m) usando a mesma fórmula:
Passo 9
Calculando o denominador:
Passo 10
Dividindo a carga pelo denominador:
Resposta
O campo elétrico na superfície gaussiana com raio de 15 cm é aproximadamente
e na superfície com raio de 20 cm é aproximadamente
.
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