Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: No reator regenerador de Chernobyl ocorria a conversão de urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Após 15 anos transcorridos do acidente determinou-se que
da quantidade inicial,
, de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um problema de desintegração radioativa onde a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente do isótopo plutônio-239. Precisamos encontrar a meia-vida desse isótopo, ou seja, o tempo necessário para que metade da quantidade inicial de plutônio se desintegre. Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante
, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Vamos começar traduzindo o enunciado em termos matemáticos. Seja
a quantidade de plutônio-239 no tempo
. A taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, então podemos escrever a equação diferencial:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. A equação está na forma:
Aqui,
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Aplicamos a condição inicial
:
Então,
Passo 8
Segundo o enunciado, após 15 anos,
da quantidade inicial se desintegrou. Isso significa que a quantidade restante é:
Portanto,
Cancelando
dos dois lados:
Passo 9
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Então,
Passo 10
A meia-vida
está relacionada à constante
pela relação:
Substituindo
,
Resposta
A meia-vida do isótopo plutônio-239 é:
Considerando que
é muito pequeno, podemos aproximar usando
para valores pequenos de
. Então:
Substituindo o valor de
:
Portanto, a meia-vida do plutônio-239 é aproximadamente: