Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: No reator regenerador de Chernobyl ocorria a conversão de urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Após 15 anos transcorridos do acidente determinou-se que da quantidade inicial, , de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. ( posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um problema de desintegração radioativa onde a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente do isótopo plutônio-239. Precisamos encontrar a meia-vida desse isótopo, ou seja, o tempo necessário para que metade da quantidade inicial de plutônio se desintegre. Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante , que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Vamos começar traduzindo o enunciado em termos matemáticos. Seja a quantidade de plutônio-239 no tempo . A taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, então podemos escrever a equação diferencial:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. A equação está na forma:
Aqui, .

Passo 4

Calculamos o fator integrante :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Aplicamos a condição inicial :
Então,

Passo 8

Segundo o enunciado, após 15 anos, da quantidade inicial se desintegrou. Isso significa que a quantidade restante é:
Portanto,
Cancelando dos dois lados:

Passo 9

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Então,

Passo 10

A meia-vida está relacionada à constante pela relação:
Substituindo ,

Resposta

A meia-vida do isótopo plutônio-239 é:
Considerando que é muito pequeno, podemos aproximar usando para valores pequenos de . Então:
Substituindo o valor de :
Portanto, a meia-vida do plutônio-239 é aproximadamente:

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