Usando o fator integrante e^integral P(t) d t como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: No reator regenerador de Chernobyl ocorria a conversão de urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Após 15 anos transcorridos do acidente determinou-se que 0,04 n % da quantidade inicial, A0, de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. ( n= posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um problema de desintegração radioativa onde a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente do isótopo plutônio-239. Precisamos encontrar a meia-vida desse isótopo, ou seja, o tempo necessário para que metade da quantidade inicial de plutônio se desintegre. Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante e^integral P(t) dt, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Vamos começar traduzindo o enunciado em termos matemáticos. Seja A(t) a quantidade de plutônio-239 no tempo t. A taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, então podemos escrever a equação diferencial:
dAdt = -k A
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. A equação está na forma:
dAdt + k A = 0
Aqui, P(t) = k.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral k dt = e^kt

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^kt dAdt + k e^kt A = 0
Isso simplifica para:
ddt ( e^kt A ) = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados:
e^kt A = C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para A(t):
A(t) = C e^-kt
Aplicamos a condição inicial A(0) = A0:
A0 = C e^0 Rightarrow C = A0
Então,
A(t) = A0 e^-kt

Passo 8

Segundo o enunciado, após 15 anos, 0,04,n% da quantidade inicial se desintegrou. Isso significa que a quantidade restante é:
A(15) = A0 ( 1 - 0,0004n )
Portanto,
A0 e^-15k = A0 ( 1 - 0,0004n )
Cancelando A0 dos dois lados:
e^-15k = 1 - 0,0004n

Passo 9

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para k:
-15k = ln ( 1 - 0,0004n )
Então,
k = -115 ln ( 1 - 0,0004n )

Passo 10

A meia-vida T está relacionada à constante k pela relação:
T = ln 2k
Substituindo k,
T = ln 2 -115 ln ( 1 - 0,0004n ) = -15 ln 2 ln ( 1 - 0,0004n )

Resposta

A meia-vida do isótopo plutônio-239 é:
T = -15 ln 2ln (1 - 0,0004n )
Considerando que 0,0004n é muito pequeno, podemos aproximar usando ln(1-x) approx -x para valores pequenos de x. Então:
T approx -15 ln 2-0,0004n = 15 ln 20,0004n
Substituindo o valor de ln 2 approx 0,693:
T approx 15 times 0,6930,0004n approx 10,3950,0004n approx 25,987,5n anos
Portanto, a meia-vida do plutônio-239 é aproximadamente:
T approx 25,987,5n anos

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