Uma carga q positiva está situada na origem do sistema de coordenadas e outra carga de mesmo valor, porém negativa, está na posição (a, 0,0 ).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto ( a, 0, a ).
b) se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=-2,00 nC na posição (1,00 m, 0, 1,00 m )?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cargas elétricas: uma positiva na origem e uma negativa na posição (a, 0, 0). A gente vai trabalhar com o campo elétrico dessas cargas no ponto (a, 0, a) e também calcular a força resultante sobre uma carga de teste. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de cargas puntiformes e a lei de Coulomb para calcular a força.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): encontrar o vetor campo elétrico no ponto (a, 0, a) devido às duas cargas.
Primeiro, lembrando que o campo elétrico gerado por uma carga q em um ponto P é dado por:
E = k cdot qr^2 cdot r
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²),
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto P,
  • r é o vetor unitário na direção de P em relação à carga.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico devido à carga positiva na origem no ponto (a, 0, a).
A distância r1 entre a origem (0,0,0) e (a,0,a) é:
r1 = raiza^2 + 0^2 + a^2 = raiz2a^2 = araiz2
O vetor unitário r1 na direção da origem para o ponto é:
r1 = (a, 0, a)r1 = (1, 0, 1)raiz2
Então, o campo elétrico E1 devido à carga positiva é:
E1 = k cdot q(araiz2)^2 cdot (1, 0, 1)raiz2 = k cdot q2a^2 cdot (1, 0, 1)raiz2 = k cdot q2a^2 raiz2 cdot (1, 0, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga negativa na posição (a, 0, 0) no ponto (a, 0, a).
A distância r2 entre (a,0,0) e (a,0,a) é:
r2 = raiz(a-a)^2 + 0^2 + a^2 = raiz0 + 0 + a^2 = a
O vetor unitário r2 na direção de (a,0,0) para (a,0,a) é:
r2 = (0, 0, a)r2 = (0, 0, 1)
Como a carga é negativa, o campo elétrico E2 aponta na direção oposta:
E2 = k cdot (-q)a^2 cdot (0, 0, 1) = -k cdot qa^2 cdot (0, 0, 1)

Passo 5

Agora, vamos somar os campos elétricos E1 e E2 para encontrar o campo total Etotal no ponto (a, 0, a).
Temos:
Etotal = E1 + E2 = k cdot q2a^2 raiz2 cdot (1, 0, 1) - k cdot qa^2 cdot (0, 0, 1)
Vamos separar as componentes:
  • Componente x: k cdot q2a^2 raiz2
  • Componente y: 0
  • Componente z: k cdot q2a^2 raiz2 - k cdot qa^2
Simplificando a componente z:
k cdot q2a^2 raiz2 - k cdot qa^2 = k cdot qa^2 ( 12raiz2 - 1 )

Passo 6

Para finalizar a parte a), a expressão do vetor campo elétrico no ponto (a, 0, a) é:
Etotal = ( k cdot q2a^2 raiz2, , 0, , k cdot qa^2 ( 12raiz2 - 1 ) )

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): calcular o vetor força resultante atuando sobre uma carga de teste q0 = -2,00 , nC na posição (1,00 , m, 0, 1,00 , m). Sabemos que q = 5,00 , nC.
Primeiro, identificamos que a posição da carga de teste é (1,00 , m, 0, 1,00 , m), ou seja, a = 1,00 , m.
Vamos substituir a = 1,00 , m e q = 5,00 times 10^-9 , C na expressão do campo elétrico que encontramos na parte a):
Etotal = ( k cdot 5,00 times 10^-92 cdot (1)^2 cdot raiz2, , 0, , k cdot 5,00 times 10^-9(1)^2 ( 12raiz2 - 1 ) )
Calculando cada componente:
  • Componente x:
Ex = 8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-92 cdot raiz2 = 44,95 times 10^02 cdot 1,4142 approx 44,952,8284 approx 15,88 , N/C
  • Componente y:
Ey = 0 , N/C
  • Componente z:
Ez = 8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-91 ( 12 cdot 1,4142 - 1 ) = 44,95 ( 12,8284 - 1 ) approx 44,95 ( 0,3536 - 1 ) approx 44,95 times (-0,6464) approx -29,07 , N/C

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da força elétrica:
F = q0 cdot Etotal
onde q0 = -2,00 times 10^-9 , C.
Multiplicando cada componente do campo elétrico pela carga de teste:
  • Componente x:
Fx = -2,00 times 10^-9 cdot 15,88 approx -3,176 times 10^-8 , N
  • Componente y:
Fy = -2,00 times 10^-9 cdot 0 = 0 , N
  • Componente z:
Fz = -2,00 times 10^-9 cdot (-29,07) approx 5,814 times 10^-8 , N

Resposta

O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste é aproximadamente:
F approx (-3,18 times 10^-8, , 0, , 5,81 times 10^-8) , N

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