Uma carga puntiforme q encontra-se no prolongamento do eixo de um dipolo com cargas +Q e -Q separadas por uma distância d. A carga q se situa a uma distância z do dipolo com z gg d. Primeiro Semestre - 2016 Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma carga pontual que está no prolongamento do eixo de um dipolo formado por duas cargas e separadas por uma distância . A carga está a uma distância do centro do dipolo, e é muito maior que ( ). Nosso objetivo é calcular a energia potencial dessa carga no campo eletrostático criado pelo dipolo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados a dipolos e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elétrica U = q V de uma carga em um campo elétrico é dada por:
onde é o potencial elétrico no ponto onde a carga está localizada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o potencial elétrico p = Q d devido ao dipolo no ponto onde a carga está. Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância . O momento dipolar é definido por:
onde é a magnitude das cargas e é o vetor que vai de para .

Passo 4

Quando a distância V = 14pi epsilon0 p cdot rz^2 é muito maior que ( ), podemos aproximar o potencial elétrico devido ao dipolo na posição da carga usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o vetor unitário na direção de , e representa o produto escalar.

Passo 5

No nosso caso, a carga p cdot r = p costheta = p cdot 1 = p está alinhada com o eixo do dipolo, ou seja, V = 14pi epsilon0 pz^2 (o ângulo entre e é zero). Portanto, o produto escalar simplifica para:
Então, o potencial elétrico fica:

Passo 6

Agora, substituímos esse potencial U = q V = q ( 14pi epsilon0 pz^2 ) na expressão da energia potencial U = 14pi epsilon0 p qz^2 :
Simplificando, temos:

Resposta

A energia potencial da carga U = 14pi epsilon0 p qz^2 no campo eletrostático do dipolo é:

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