Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar para o qual o campo vetorial é o gradiente. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial dado, que é:
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial. Além disso, se o rotacional for zero, vamos encontrar uma função escalar tal que é o gradiente dessa função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente mede quanto o campo se “expande” ou “contrai” em cada ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculemos :
Agora, :
E :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas parciais para obter o divergente:
Então, o divergente de é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada componente.

Passo 6

Calculemos cada termo do rotacional:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Juntando tudo, o rotacional fica:
Então, o rotacional de não é nulo; ele é .

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é . Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar tal que seja o gradiente de .

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