Uma carga puntiforme positiva +Q é posicionada em x=-a. (a) Qual é o trabalho necessário para trazer uma segunda carga puntiforme positiva idêntica +Q do infinito até x=+a ? (b) Com as cargas puntiformes positivas iguais em x=-a e x=+a, qual é o trabalho necessário para trazer uma terceira carga -Q do infinito até a origem?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem duas situações aqui envolvendo cargas elétricas e precisa calcular o trabalho feito para mover essas cargas no campo elétrico. A matéria que vamos usar é a da eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o conceito de trabalho em campos elétricos. Vamos precisar da fórmula da força de Coulomb e da fórmula para calcular o trabalho feito para mover uma carga contra esse campo.

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos calcular o trabalho necessário para trazer uma segunda carga puntiforme positiva +Q do infinito até o ponto x=+a, onde já tem uma carga +Q em x=-a.
Passo 2.1: Entender o que está acontecendo.
Quando você traz uma carga positiva para perto de outra carga positiva, elas se repelem. Por isso, é preciso realizar trabalho contra essa força de repulsão.
Passo 2.2: Usar a fórmula do potencial elétrico.
O trabalho W para trazer uma carga Q de um ponto ao infinito até uma posição em um campo elétrico é dado por:
W = k cdot Q cdot Qr
onde:
  • k é a constante de Coulomb ( k approx 8,99 times 10^9 , N m^2/C^2),
  • Q e Q são as cargas,
  • r é a distância entre as cargas.
Passo 2.3: Calcular a distância r.
As cargas estão em x=-a e x=+a, então a distância entre elas é:
r = (+a) - (-a) = 2a
Passo 2.4: Substituir os valores na fórmula.
W = k cdot Q^22a

Passo 3

Parte (b)

Agora, vamos calcular o trabalho necessário para trazer uma terceira carga -Q do infinito até a origem, onde já têm duas cargas positivas +Q em x=-a e x=+a.
Passo 3.1: Entender o que está acontecendo.
Aqui, estamos trazendo uma carga negativa para o ponto médio entre duas cargas positivas. As cargas positivas exercem uma força de atração sobre a carga negativa.
Passo 3.2: Calcular o potencial elétrico no ponto de chegada.
O potencial elétrico V devido a uma carga Q a uma distância r é dado por:
V = k cdot Qr
Como temos duas cargas positivas a uma distância a da origem, o potencial total na origem é:
Vtotal = k cdot Qa + k cdot Qa = 2kQa
Passo 3.3: Calcular o trabalho W.
O trabalho para trazer a carga -Q do infinito até a origem é:
W = Q cdot Vtotal = (-Q) cdot ( 2kQa ) = -2kQ^2a
No entanto, como trabalho é energia fornecida, consideramos o valor absoluto:
W = 2kQ^2a

Resposta

a) O trabalho necessário para trazer a segunda carga +Q do infinito até x=+a é:
W = kQ^22a
b) O trabalho necessário para trazer a terceira carga -Q do infinito até a origem é:
W = 2kQ^2a

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