Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores:
O que a gente precisa fazer é calcular duas expressões:
E depois verificar se esses dois resultados são iguais. Para isso, vamos usar o produto vetorial (representado por ) e o produto escalar (representado por ). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e , que é . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Onde Ax, Ay, Az são as componentes de A e Bx, By, Bz as de B.
Substituindo os valores:
A times B = x & y & z 3 & 2 & -1 3 & -4 & -5
Calculando o determinante:
A times B = x cdot (2 cdot (-5) - (-1) cdot (-4)) - y cdot (3 cdot (-5) - (-1) cdot 3) + z cdot (3 cdot (-4) - 2 cdot 3)
= x cdot (-10 - 4) - y cdot (-15 - (-3)) + z cdot (-12 - 6)
= -14x + 12y - 18z
Então,
A times B = -14x + 12y - 18z
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o resultado que obtivemos e o vetor C, ou seja, (A times B) cdot C. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
(A times B) cdot C = (-14)cdot1 + 12cdot(-1) + (-18)cdot1 = -14 -12 -18 = -44
Passo 4
Agora vamos fazer o outro cálculo: A cdot(B times C). Primeiro, precisamos encontrar B times C. Vamos usar a mesma fórmula do produto vetorial:
B times C = x & y & z 3 & -4 & -5 1 & -1 & 1
Calculando o determinante:
B times C = x cdot [(-4) cdot 1 - (-5) cdot (-1)] - y cdot [3 cdot 1 - (-5) cdot 1] + z cdot [3 cdot (-1) - (-4) cdot 1]
= x cdot (-4 -5) - y cdot (3 +5) + z cdot (-3 +4)
= -9x -8y +1z
Então,
B times C = -9x -8y +z
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre A e o resultado que acabamos de encontrar, ou seja, A cdot (B times C):
A cdot (B times C) = 3cdot(-9) + 2cdot(-8) + (-1)cdot1 = -27 -16 -1 = -44
Resposta
As duas expressões (A times B) cdot C e A cdot(B times C) são iguais e valem -44.