Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas muito longas têm raios de
,
e
(
. O espaço entre elas é preenchido com ar. O mais interno e o mais externo dos cilindros são conectados entre si. Encontre a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três cascas cilíndricas condutoras que são muito longas e estão concentricamente alinhadas, ou seja, elas compartilham o mesmo eixo central. Os raios dessas cascas são
,
e
, onde
. O espaço entre elas está preenchido com ar. Além disso, o cilindro mais interno e o mais externo estão conectados entre si. Nosso objetivo é encontrar a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância em sistemas cilíndricos e a fórmula da capacitância para cilindros concêntricos.
Passo 2
Vamos visualizar o sistema: temos três cilindros concêntricos com raios
,
e
. O cilindro mais interno (
) e o mais externo (
) estão conectados, o que significa que eles estão no mesmo potencial elétrico. O cilindro intermediário (
) estará em um potencial diferente. Isso forma duas seções de capacitor:
- Entre o cilindro de raio
e . - Entre o cilindro de raio
e .
Passo 3
A capacitância por unidade de comprimento de um capacitor cilíndrico é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o raio do cilindro externo, -
é o raio do cilindro interno, -
é o logaritmo natural.
Aplicando essa fórmula para as duas seções do nosso sistema:
-
Entre
e : -
Entre
e :
Passo 4
Como os dois capacitores estão em série (um após o outro), a capacitância total
é dada pela fórmula de capacitores em série:
Substituindo
e
:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento do sistema é:
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- Um capacitor esférico é constituído de uma casca esférica interna de raio
com uma carga de e uma externa casca esférica concêntrica de raio com carga de . (a) Encontre o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto no espaço. (b) Calcule a energia total eletrostática armazenada no capacitor, e © compare o seu resultado com o obtido usando e determine a capacitância do capacitor esférico.
Um capacitor é construído de dois cilindros concêntricos muito finos de raios a e
(
) tendo um comprimento
. Uma carga de
está no cilindro interno e uma carga de
no cilindro externo. A região entre os dois cilindros é preenchido com um dielétrico tendo uma constante dielétrica
. (a) Encontre a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Encontre a densidade da carga livre
no cilindro interno e o cilindro externo. © Encontre a densidade de carga ligada
formada na superfície cilíndrica interna e na superficie externa do dielétrico. (d) Encontre a total energia eletrostática armazenada no capacitor. (e) Qual o trabalho mecânico necessário para remover sem atrito o dielétrico do interior do capacitor?
A esfera 1, de raio
, possui uma carga positiva q. A esfera 2 , de raio
, está muito afastada da esfera 1 e inicialmente descarregada. Quando as esferas são ligadas por um fio suficientemente fino para que a carga que contém possa ser desprezada, (a) o potencial
da esfera 1 se torna maior, menor ou igual ao potencial
da esfera 2? (b) Que fração da carga
permanece na esfera 1? © Que fração da carga
é transferida para a esfera 2? (d) Qual é a razão
entre as cargas das duas esferas?
Uma carga puntiforme positiva
é posicionada em
. (a) Qual é o trabalho necessário para trazer uma segunda carga puntiforme positiva idêntica
do infinito até
? (b) Com as cargas puntiformes positivas iguais em
e
, qual é o trabalho necessário para trazer uma terceira carga
do infinito até a origem?