Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas muito longas têm raios de a, b e c ( a. O espaço entre elas é preenchido com ar. O mais interno e o mais externo dos cilindros são conectados entre si. Encontre a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três cascas cilíndricas condutoras que são muito longas e estão concentricamente alinhadas, ou seja, elas compartilham o mesmo eixo central. Os raios dessas cascas são , e , onde . O espaço entre elas está preenchido com ar. Além disso, o cilindro mais interno e o mais externo estão conectados entre si. Nosso objetivo é encontrar a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância em sistemas cilíndricos e a fórmula da capacitância para cilindros concêntricos.

Passo 2

Vamos visualizar o sistema: temos três cilindros concêntricos com raios , e . O cilindro mais interno ( ) e o mais externo ( ) estão conectados, o que significa que eles estão no mesmo potencial elétrico. O cilindro intermediário ( ) estará em um potencial diferente. Isso forma duas seções de capacitor:
  1. Entre o cilindro de raio e .
  2. Entre o cilindro de raio e .

Passo 3

A capacitância por unidade de comprimento de um capacitor cilíndrico é dada por:
C = 2pivarepsilon0ln(rexternorinterno)
onde:
  • C1 = 2pivarepsilon0ln(ba) é a permissividade do vácuo,
  • C2 = 2pivarepsilon0ln(cb) é o raio do cilindro externo,
  • é o raio do cilindro interno,
  • é o logaritmo natural.
Aplicando essa fórmula para as duas seções do nosso sistema:
  1. Entre e :
  2. Entre e :

Passo 4

Como os dois capacitores estão em série (um após o outro), a capacitância total 1Ctotal = 1C1 + 1C2 é dada pela fórmula de capacitores em série:
1Ctotal = ln(ba)2pivarepsilon0 + ln(cb)2pivarepsilon0 = ln(ba cdot cb)2pivarepsilon0 = ln(ca)2pivarepsilon0
Substituindo Ctotal = 2pivarepsilon0ln(ca) e :
Invertendo para encontrar :

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento do sistema é:
C = 2pivarepsilon0ln(ca)

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