Três cascas cilíndricas condutoras concêntricas muito longas têm raios de
,
e
(
. O espaço entre elas é preenchido com ar. O mais interno e o mais externo dos cilindros são conectados entre si. Encontre a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três cascas cilíndricas condutoras que são muito longas e estão concentricamente alinhadas, ou seja, elas compartilham o mesmo eixo central. Os raios dessas cascas são
,
e
, onde
. O espaço entre elas está preenchido com ar. Além disso, o cilindro mais interno e o mais externo estão conectados entre si. Nosso objetivo é encontrar a capacitância por unidade de comprimento deste sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância em sistemas cilíndricos e a fórmula da capacitância para cilindros concêntricos.
Passo 2
Vamos visualizar o sistema: temos três cilindros concêntricos com raios
,
e
. O cilindro mais interno (
) e o mais externo (
) estão conectados, o que significa que eles estão no mesmo potencial elétrico. O cilindro intermediário (
) estará em um potencial diferente. Isso forma duas seções de capacitor:
- Entre o cilindro de raio
e . - Entre o cilindro de raio
e .
Passo 3
A capacitância por unidade de comprimento de um capacitor cilíndrico é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o raio do cilindro externo, -
é o raio do cilindro interno, -
é o logaritmo natural.
Aplicando essa fórmula para as duas seções do nosso sistema:
-
Entre
e : -
Entre
e :
Passo 4
Como os dois capacitores estão em série (um após o outro), a capacitância total
é dada pela fórmula de capacitores em série:
Substituindo
e
:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento do sistema é: