Uma carga puntiforme é posicionada no centro de uma casca esférica condutora, neutra, de raios interno e externo e , respectivamente. O sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
(a) Determine o campo elétrico em um ponto no interior da cavidade.
(b) Determine o campo elétrico em um ponto no interior da casca.
© Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca.
(d) Determine o campo elétrico em um ponto no exterior da casca.
(e) Quais das respostas anteriores se modificariam se a casca possuisse uma carga ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma carga pontual no centro de uma casca esférica condutora neutra com raios interno e externo . O conteúdo que vamos usar aqui é o de Eletrostática, principalmente as leis de Gauss e conceitos sobre condutores em equilíbrio eletrostático. Precisamos saber como o campo elétrico se comporta dentro e fora de condutores e como cargas se distribuem em superfícies condutoras.

Passo 2

Parte (a): Campo elétrico no interior da cavidade
Quando temos uma carga no centro de uma casca condutora neutra, a casca responde para manter o equilíbrio. Usando a Lei de Gauss, sabemos que dentro de uma cavidade com carga pontual, o campo elétrico é como se apenas a carga central estivesse presente.
Explicação da teoria: A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga dentro dessa superfície. No interior da cavidade, a casca não afeta o campo já que está neutra e as cargas na casca se distribuem de forma a cancelar o campo dentro do condutor.

Passo 3

Parte (b): Campo elétrico no interior da casca
Dentro do material condutor da casca, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque os elétrons no condutor se rearranjam de forma que cancelam qualquer campo elétrico interno, mantendo o equilíbrio eletrostático.
Explicação da teoria: Em um condutor em equilíbrio, as cargas se distribuem na superfície para que o campo dentro do material seja nulo. Assim, não há campo elétrico no interior da casca condutora.

Passo 4

Parte ©: Densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca
Na superfície interna ( ), a carga induzida será para cancelar o campo dentro do condutor. Na superfície externa ( ), a carga induzida será para manter a casca neutra.
Explicação da teoria: A carga central induz uma carga oposta na superfície interna para neutralizar o campo dentro do condutor. Como a casca é neutra, a superfície externa deve ter uma carga igual e oposta à interna, ou seja, .

Passo 5

Parte (d): Campo elétrico no exterior da casca
Fora da casca, o campo elétrico é como se fosse de uma carga pontual no centro, já que a casca não possui carga líquida externa. Usando a Lei de Gauss, temos:
onde .
Explicação da teoria: A casca condutora neutra não altera o campo externo gerado pela carga central, pois a carga induzida na superfície externa é , equivalendo à carga central para efeitos externos.

Passo 6

Parte (e): Efeitos se a casca possuir uma carga
Se a casca tiver uma carga adicional , isso afetará a carga na superfície externa. A carga total na superfície externa será , enquanto a interna continua com .
Justificativa: A carga adicional na casca se distribui na superfície externa, somando-se à carga induzida . Assim, o campo externo passa a depender de , modificando a resposta da parte (d).

Resposta

(a) O campo elétrico no interior da cavidade é .
(b) O campo elétrico no interior da casca é zero.
© As densidades superficiais de carga são e .
(d) O campo elétrico no exterior da casca é , para .
(e) Se a casca possuir uma carga , a carga na superfície externa passa a ser , modificando o campo elétrico no exterior para .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes distribuições de carga:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
(a) Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
(b) A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.
Uma partícula de carga é posicionada no centro de uma casca cubíca de aresta . Nessa situação, calcule:
(a) O fluxo de campo elétrico produzido por sobre a superfície do cubo.
(b) O fluxo de campo elétrico produzido por sobre uma das faces do cubo.
© Suponha agora que a carga seja posicionada em um dos vértices do cubo. Qual é o fluxo de campo elétrico produzido por sobre cada face do cubo?
Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total e .
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.
(b) Utilizando o princípio da superposição, determine o campo elétrico total produzido pelos dois planos em todo o espaço. Analise cuidadosamente cada região.
© Imaginando os planos como placas condutoras de espessura muito pequena, utilize a lei de Gauss para determinar as densidades superficiais de carga em cada uma das quatro faces.
Um campo elétrico suficientemente forte pode fazer um átomo se tornar um íon positivo - isto é, fazer com que ele perca um ou mais elétrons. Explique como isso pode ocorrer. O que determina a intensidade mínima capaz de produzir esse efeito?