Uma carga puntiforme q é posicionada no centro de uma casca esférica condutora, neutra, de raios interno e externo a e b, respectivamente. O sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
(a) Determine o campo elétrico em um ponto no interior da cavidade.
(b) Determine o campo elétrico em um ponto no interior da casca.
© Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca.
(d) Determine o campo elétrico em um ponto no exterior da casca.
(e) Quais das respostas anteriores se modificariam se a casca possuisse uma carga Q ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma carga pontual no centro de uma casca esférica condutora neutra com raios interno e externo . O conteúdo que vamos usar aqui é o de Eletrostática, principalmente as leis de Gauss e conceitos sobre condutores em equilíbrio eletrostático. Precisamos saber como o campo elétrico se comporta dentro e fora de condutores e como cargas se distribuem em superfícies condutoras.

Passo 2

Parte (a): Campo elétrico no interior da cavidade
Quando temos uma carga no centro de uma casca condutora neutra, a casca responde para manter o equilíbrio. Usando a Lei de Gauss, sabemos que dentro de uma cavidade com carga pontual, o campo elétrico é como se apenas a carga central estivesse presente.
Explicação da teoria: A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga dentro dessa superfície. No interior da cavidade, a casca não afeta o campo já que está neutra e as cargas na casca se distribuem de forma a cancelar o campo dentro do condutor.

Passo 3

Parte (b): Campo elétrico no interior da casca
Dentro do material condutor da casca, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque os elétrons no condutor se rearranjam de forma que cancelam qualquer campo elétrico interno, mantendo o equilíbrio eletrostático.
Explicação da teoria: Em um condutor em equilíbrio, as cargas se distribuem na superfície para que o campo dentro do material seja nulo. Assim, não há campo elétrico no interior da casca condutora.

Passo 4

Parte ©: Densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca
Na superfície interna ( ), a carga induzida será para cancelar o campo dentro do condutor. Na superfície externa ( ), a carga induzida será para manter a casca neutra.
Explicação da teoria: A carga central induz uma carga oposta na superfície interna para neutralizar o campo dentro do condutor. Como a casca é neutra, a superfície externa deve ter uma carga igual e oposta à interna, ou seja, .

Passo 5

Parte (d): Campo elétrico no exterior da casca
Fora da casca, o campo elétrico é como se fosse de uma carga pontual E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 no centro, já que a casca não possui carga líquida externa. Usando a Lei de Gauss, temos:
onde .
Explicação da teoria: A casca condutora neutra não altera o campo externo gerado pela carga central, pois a carga induzida na superfície externa é , equivalendo à carga central para efeitos externos.

Passo 6

Parte (e): Efeitos se a casca possuir uma carga
Se a casca tiver uma carga adicional , isso afetará a carga na superfície externa. A carga total na superfície externa será , enquanto a interna continua com .
Justificativa: A carga adicional na casca se distribui na superfície externa, somando-se à carga induzida . Assim, o campo externo passa a depender de , modificando a resposta da parte (d).

Resposta

(a) O campo elétrico no interior da cavidade é .
(b) O campo elétrico no interior da casca é zero.
© As densidades superficiais de carga são e .
(d) O campo elétrico no exterior da casca é , para .
(e) Se a casca possuir uma carga , a carga na superfície externa passa a ser , modificando o campo elétrico no exterior para .

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