Considere as seguintes distribuições de carga:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
(a) Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
(b) A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui cinco tipos diferentes de distribuições de carga elétrica e precisa descobrir para quais delas dá para usar a Lei de Gauss pra calcular o campo elétrico em todo o espaço. A matéria que a gente vai usar aqui é a Eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa quando a distribuição de carga tem simetria. Vamos precisar entender um pouco sobre simetria e como aplicar a Lei de Gauss para diferentes formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do espaço. Matematicamente, é expressa como:
Essa lei é super útil quando a distribuição de carga tem simetria suficiente para que o campo elétrico seja o mesmo em todos os pontos de uma determinada superfície gaussiana.

Passo 3

Vamos analisar cada uma das distribuições:
i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
Para um fio infinito, a simetria é cilíndrica. Podemos escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com o fio. O campo elétrico será perpendicular à superfície lateral do cilindro e igual em todos os pontos dessa superfície. Então, dá pra usar a Lei de Gauss aqui.
ii) Anel circular fino, uniformemente carregado
Um anel tem simetria circular, mas não é infinita. O campo elétrico em qualquer ponto no espaço não será uniforme em uma superfície fechada ao redor do anel, tornando difícil aplicar a Lei de Gauss diretamente. Então, aqui a Lei de Gauss não é tão útil.
iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
Um disco tem simetria axial, mas não é uma distribuição infinita. O campo elétrico varia dependendo da distância do disco, e não conseguimos encontrar uma superfície gaussiana onde o campo seja constante em toda a superfície. Portanto, a Lei de Gauss não se aplica bem aqui.
iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
Uma esfera tem simetria esférica perfeita. Podemos escolher uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica. O campo elétrico será radial e igual em todos os pontos dessa superfície. Assim, a Lei de Gauss funciona perfeitamente aqui.
v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
Uma casca cilíndrica infinita também tem simetria cilíndrica. Podemos usar uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com a casca. O campo elétrico será perpendicular à superfície lateral e constante em magnitude. Então, dá pra aplicar a Lei de Gauss aqui também.

Passo 4

Resumindo:
(a) Podemos usar a Lei de Gauss para as seguintes distribuições:
  • Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
  • Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
  • Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
Isso porque essas distribuições têm simetria que permite escolher superfícies gaussianas onde o campo elétrico é constante ou zero, facilitando a aplicação da Lei de Gauss.
(b) A Lei de Gauss não vale diretamente para:
  • Anel circular fino, uniformemente carregado
  • Disco circular isolante, uniformemente carregado
Nesses casos, a simetria da distribuição não permite uma aplicação simples da Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em todo o espaço.

Resposta

Portanto, a Lei de Gauss pode ser utilizada nas distribuições (i), (iv) e (v), enquanto não é aplicável diretamente nas distribuições (ii) e (iii).

Exercícios relacionados

Uma partícula de carga é posicionada no centro de uma casca cubíca de aresta . Nessa situação, calcule:
(a) O fluxo de campo elétrico produzido por sobre a superfície do cubo.
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(d) Determine o campo elétrico em um ponto no exterior da casca.
(e) Quais das respostas anteriores se modificariam se a casca possuisse uma carga ? Justifique.
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