Uma carga q em um campo elétrico uniforma Eo está sujeita a uma força constante F=q Eo. Mostre que essa força é conservativa e verifique que a energia potencial da carga na posição r é U(r)=-q Eo cdot r. Tomando as derivadas necessárias, confira que F=-nabla U.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga que está em um campo elétrico uniforme . Essa carga sente uma força constante . Nosso objetivo é mostrar que essa força é conservativa, encontrar a energia potencial dessa carga na posição , e finalmente verificar que . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de força conservativa, energia potencial e o operador nabla ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho percorrido, mas apenas da posição inicial e final. Além disso, para forças conservativas, existe uma energia potencial associada.

Passo 3

No nosso caso, a força é constante porque o campo elétrico é uniforme, ou seja, não muda de direção ou intensidade no espaço. Como a força é constante, o trabalho realizado por ela ao mover a carga entre dois pontos depende apenas das posições inicial e final, não do caminho. Portanto, podemos concluir que é uma força conservativa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a energia potencial F = -nabla U . Sabemos que para forças conservativas, o trabalho realizado pela força pode ser relacionado à energia potencial pela relação:
Queremos encontrar que satisfaça essa equação.

Passo 5

Vamos supor que a energia potencial tem a forma nabla U = nabla (-q Eo cdot r) = -q Eo . Vamos verificar se isso está correto calculando o gradiente de F = -nabla U = q Eo :
Portanto:
Isso confirma que nossa suposição para está correta.

Passo 6

Para finalizar, revisamos que mostramos que a força é conservativa porque ela é constante e o trabalho depende apenas das posições inicial e final. Além disso, identificamos a energia potencial associada e verificamos que , conforme solicitado.

Resposta

A força é conservativa e a energia potencial da carga na posição é . Além disso, verificamos que .

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