Num planeta hipotético , força gravitacional sobre uma massa aponta verticalmente para baixo e tem magnitude , em que é uma constante e é a altura da massa acima da superfície. a) determine o trabalho feito pela gravidade sobre a massa ao movê-la entre e e, em seguida, mostre que a gravidade desse planeta, embora não usual, ainda é uma força conservativa. Encontre a energia potencial associada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o trabalho feito pela força gravitacional em um planeta hipotético X quando movemos uma massa de uma posição para outra . Além disso, queremos mostrar que essa gravidade é uma força conservativa e encontrar a energia potencial associada. Vamos usar conceitos de trabalho, força conservativa e energia potencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força variável é calculado pela integral dessa força ao longo do caminho do deslocamento. A força gravitacional dada é , onde é a altura.
Passo 3
Como a força só tem componente vertical, o deslocamento também será vertical. Então, o trabalho pode ser calculado pela integral da força em relação à altura :
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Passo 5
Então, o trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de para é:
Passo 6
Agora, para mostrar que a força é conservativa, precisamos verificar se podemos expressar essa força como o gradiente negativo de uma energia potencial . Ou seja, .
Passo 7
Como a força só depende de , podemos integrar em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração que podemos considerar zero se definirmos na superfície do planeta ().
Passo 8
Assim, a energia potencial associada é:
Isso mostra que a força gravitacional nesse planeta pode ser derivada de uma energia potencial, confirmando que é uma força conservativa.
Resposta
O trabalho feito pela gravidade ao mover a massa de para é . Além disso, a gravidade nesse planeta é uma força conservativa, e a energia potencial associada é .