Num planeta hipotético X, força gravitacional sobre uma massa m aponta verticalmente para baixo e tem magnitude m gamma y^2, em que gamma é uma constante e y é a altura da massa acima da superfície. a) determine o trabalho feito pela gravidade sobre a massa m ao movê-la entre r1 e r2 e, em seguida, mostre que a gravidade desse planeta, embora não usual, ainda é uma força conservativa. Encontre a energia potencial associada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o trabalho feito pela força gravitacional em um planeta hipotético X quando movemos uma massa de uma posição para outra . Além disso, queremos mostrar que essa gravidade é uma força conservativa e encontrar a energia potencial associada. Vamos usar conceitos de trabalho, força conservativa e energia potencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força variável é calculado pela integral dessa força ao longo do caminho do deslocamento. A força gravitacional dada é , onde é a altura.

Passo 3

Como a força só tem componente vertical, o deslocamento também será vertical. Então, o trabalho W = integraly1^y2 Fy , dy = integraly1^y2 (-m gamma y^2) , dy pode ser calculado pela integral da força em relação à altura :

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
W = -m gamma integraly1^y2 y^2 , dy = -m gamma [ y^33 ]y1^y2 = -m gamma ( y2^3 - y1^33 )

Passo 5

Então, o trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de W = -m gamma3 (y2^3 - y1^3) para é:

Passo 6

Agora, para mostrar que a força é conservativa, precisamos verificar se podemos expressar essa força como o gradiente negativo de uma energia potencial . Ou seja, .

Passo 7

Como a força só depende de U(y) = -integral Fy , dy = -integral (-m gamma y^2) , dy = m gamma integral y^2 , dy = m gamma y^33 + C , podemos integrar em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração que podemos considerar zero se definirmos na superfície do planeta ( ).

Passo 8

Assim, a energia potencial associada é:
U(y) = m gamma3 y^3
Isso mostra que a força gravitacional nesse planeta pode ser derivada de uma energia potencial, confirmando que é uma força conservativa.

Resposta

O trabalho feito pela gravidade ao mover a massa de para é . Além disso, a gravidade nesse planeta é uma força conservativa, e a energia potencial associada é .

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