Num planeta hipotético
, força gravitacional sobre uma massa
aponta verticalmente para baixo e tem magnitude
, em que
é uma constante e
é a altura da massa acima da superfície. a) determine o trabalho feito pela gravidade sobre a massa
ao movê-la entre
e
e, em seguida, mostre que a gravidade desse planeta, embora não usual, ainda é uma força conservativa. Encontre a energia potencial associada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o trabalho feito pela força gravitacional em um planeta hipotético X quando movemos uma massa
de uma posição
para outra
. Além disso, queremos mostrar que essa gravidade é uma força conservativa e encontrar a energia potencial associada. Vamos usar conceitos de trabalho, força conservativa e energia potencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força variável é calculado pela integral dessa força ao longo do caminho do deslocamento. A força gravitacional dada é
, onde
é a altura.
Passo 3
Como a força só tem componente vertical, o deslocamento também será vertical. Então, o trabalho
pode ser calculado pela integral da força em relação à altura
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Passo 5
Então, o trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de
para
é:
Passo 6
Agora, para mostrar que a força é conservativa, precisamos verificar se podemos expressar essa força como o gradiente negativo de uma energia potencial
. Ou seja,
.
Passo 7
Como a força só depende de
, podemos integrar em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração que podemos considerar zero se definirmos
na superfície do planeta (
).
Passo 8
Assim, a energia potencial associada é:
Isso mostra que a força gravitacional nesse planeta pode ser derivada de uma energia potencial, confirmando que é uma força conservativa.
Resposta
O trabalho feito pela gravidade ao mover a massa de
para
é
. Além disso, a gravidade nesse planeta é uma força conservativa, e a energia potencial associada é
.