Num planeta hipotético
, força gravitacional sobre uma massa
aponta verticalmente para baixo e tem magnitude
, em que
é uma constante e
é a altura da massa acima da superfície. a) determine o trabalho feito pela gravidade sobre a massa
ao movê-la entre
e
e, em seguida, mostre que a gravidade desse planeta, embora não usual, ainda é uma força conservativa. Encontre a energia potencial associada. b) ainda no planeta
, considere uma conta presa a um arame curvado e rígido, que se estende do solo até uma altura
acima do solo. llustre a forças que atuam sobre a conta. Considere que não há atrito entre o arame e a conta. Quais forças são conservativas e quais não são? c) se a conta é solta do repouso na altura
, qual sua velocidade ao chegar no solo?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a força gravitacional em um planeta hipotético X. O enunciado fala sobre uma força gravitacional que depende da altura
² e nos pede para calcular o trabalho realizado por essa força, mostrar que ela é conservativa e encontrar a energia potencial associada. Além disso, analisaremos as forças atuantes em uma conta presa a um arame e determinaremos quais são conservativas. Por fim, calcularemos a velocidade da conta ao chegar no solo. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho, força conservativa e energia potencial.
Passo 2
a) Determinar o trabalho feito pela gravidade e mostrar que é uma força conservativa
Primeiro, vamos calcular o trabalho
realizado pela força gravitacional ao mover a massa
de uma posição
para
. O trabalho é dado pela integral da força ao longo do deslocamento:
Aqui, a força
é
. Então:
Vamos integrar:
Para mostrar que a gravidade é uma força conservativa, precisamos verificar se o trabalho depende apenas das posições inicial e final, e não do caminho. Como o trabalho calculado acima depende apenas de
e
, concluímos que a força é conservativa.
Agora, encontramos a energia potencial
associada a essa força. Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
Então, temos:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher a constante
para simplificar, então:
Passo 3
b) Forças atuantes na conta presa ao arame e quais são conservativas
Vamos considerar a conta presa a um arame rígido que vai do solo até uma altura
. As forças que atuam sobre a conta são:
-
Força Gravitacional (
): Puxa a conta para baixo com magnitude . Como vimos no item a), essa força é conservativa. -
Força do Arame (
): É a força de suporte que impede a conta de cair livremente. Como o arame é rígido e não há atrito, essa força é sempre perpendicular ao deslocamento da conta e não realiza trabalho. Além disso, no contexto de conservatividade, essa força não contribui para a energia potencial da conta.
Portanto:
- Forças Conservativas: Força Gravitacional (
) - Forças Não Conservativas: Nenhuma neste caso, já que a força do arame não realiza trabalho.
Passo 4
c) Velocidade da conta ao chegar no solo
Quando a conta é solta do repouso na altura
, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética ao chegar ao solo. Usaremos a conservação da energia:
Inicialmente, a conta está em repouso, então
, e
. No solo,
e queremos encontrar
.
Substituindo:
Resolvendo para
:
Como a velocidade não pode ser negativa, consideramos o módulo:
Resposta
A velocidade da conta ao chegar no solo é
.