Num planeta hipotético X, força gravitacional sobre uma massa m aponta verticalmente para baixo e tem magnitude m gamma y^2, em que gamma é uma constante e y é a altura da massa acima da superfície. a) determine o trabalho feito pela gravidade sobre a massa m ao movê-la entre r1 e r2 e, em seguida, mostre que a gravidade desse planeta, embora não usual, ainda é uma força conservativa. Encontre a energia potencial associada. b) ainda no planeta X, considere uma conta presa a um arame curvado e rígido, que se estende do solo até uma altura h acima do solo. llustre a forças que atuam sobre a conta. Considere que não há atrito entre o arame e a conta. Quais forças são conservativas e quais não são? c) se a conta é solta do repouso na altura h, qual sua velocidade ao chegar no solo?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a força gravitacional em um planeta hipotético X. O enunciado fala sobre uma força gravitacional que depende da altura ² e nos pede para calcular o trabalho realizado por essa força, mostrar que ela é conservativa e encontrar a energia potencial associada. Além disso, analisaremos as forças atuantes em uma conta presa a um arame e determinaremos quais são conservativas. Por fim, calcularemos a velocidade da conta ao chegar no solo. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho, força conservativa e energia potencial.

Passo 2

a) Determinar o trabalho feito pela gravidade e mostrar que é uma força conservativa
Primeiro, vamos calcular o trabalho W = integraly1^y2 F , dy realizado pela força gravitacional ao mover a massa W = integraly1^y2 m gamma y^2 , dy de uma posição W = m gamma [ y^33 ]y1^y2 = m gamma ( y2^3 - y1^33 ) para F = -dUdy . O trabalho é dado pela integral da força ao longo do deslocamento:
m gamma y^2 = -dUdy
Aqui, a força U(y) = -integral m gamma y^2 , dy = -m gamma y^33 + C é U(y) = -m gamma y^33 . Então:
Vamos integrar:
Para mostrar que a gravidade é uma força conservativa, precisamos verificar se o trabalho depende apenas das posições inicial e final, e não do caminho. Como o trabalho calculado acima depende apenas de e , concluímos que a força é conservativa.
Agora, encontramos a energia potencial associada a essa força. Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
Então, temos:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher a constante para simplificar, então:

Passo 3

b) Forças atuantes na conta presa ao arame e quais são conservativas
Vamos considerar a conta presa a um arame rígido que vai do solo até uma altura . As forças que atuam sobre a conta são:
  1. Força Gravitacional ( ): Puxa a conta para baixo com magnitude . Como vimos no item a), essa força é conservativa.
  2. Força do Arame ( ): É a força de suporte que impede a conta de cair livremente. Como o arame é rígido e não há atrito, essa força é sempre perpendicular ao deslocamento da conta e não realiza trabalho. Além disso, no contexto de conservatividade, essa força não contribui para a energia potencial da conta.
Portanto:
  • Forças Conservativas: Força Gravitacional ( )
  • Forças Não Conservativas: Nenhuma neste caso, já que a força do arame não realiza trabalho.

Passo 4

c) Velocidade da conta ao chegar no solo
Quando a conta é solta do repouso na altura Ui + Ki = Uf + Kf , a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética ao chegar ao solo. Usaremos a conservação da energia:
-m gamma h^33 + 0 = 0 + 12 m v^2
Inicialmente, a conta está em repouso, então 12 m v^2 = -m gamma h^33 , e v^2 = -2 gamma h^33 . No solo, v = raiz2 gamma h^33 e queremos encontrar .
Substituindo:
Resolvendo para :
Como a velocidade não pode ser negativa, consideramos o módulo:

Resposta

A velocidade da conta ao chegar no solo é .

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