Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
onde
identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Calcule
para que a função acima satisfaça a equação de Schroedinger para uma partícula livre.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda para uma partícula livre que está confinada em uma caixa de tamanho $ a $. O objetivo é encontrar o valor de $ \omega $ para que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Vamos precisar entender um pouquinho sobre a equação de Schrödinger e como aplicá-la a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula livre, que é dada por:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ \Psi $ é a função de onda, e $ \hat{H} $ é o operador Hamiltoniano que representa a energia total da partícula. Para uma partícula livre, sem potenciais externos, o operador Hamiltoniano é:
onde $ m $ é a massa da partícula.
Passo 3
Agora, temos a função de onda dada:
Queremos substituir essa função na equação de Schrödinger e encontrar $ \omega $.
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da equação de Schrödinger, que é $ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} $:
Multiplicando por $ i\hbar $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o lado direito da equação de Schrödinger, que é $ \hat{H} \Psi $:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de $ \Psi $ em relação a $ x $:
Agora, aplicando o operador Hamiltoniano:
Passo 6
Agora, igualamos os dois lados da equação de Schrödinger:
Podemos simplificar ambos os lados cancelando os termos comuns $ A e^{-i \omega t} \sin \left(\frac{n \pi x}{a}\right) $:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ \omega $:
Resposta
O valor de $ \omega $ que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é: