Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
Psin(x, t)=A e^-i omega t sin (n pi xa), para 0
onde n=1,2.3, ldots identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Calcule omega para que a função acima satisfaça a equação de Schroedinger para uma partícula livre.
e k partial psi=f psi=E psi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda para uma partícula livre que está confinada em uma caixa de tamanho $ a $. O objetivo é encontrar o valor de $ \omega $ para que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Vamos precisar entender um pouquinho sobre a equação de Schrödinger e como aplicá-la a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula livre, que é dada por:
ihbar partial Psipartial t = H Psi
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ \Psi $ é a função de onda, e $ \hat{H} $ é o operador Hamiltoniano que representa a energia total da partícula. Para uma partícula livre, sem potenciais externos, o operador Hamiltoniano é:
i
onde $ m $ é a massa da partícula.

Passo 3

Agora, temos a função de onda dada:
Psin(x, t) = A e^-i omega t sin (n pi xa)
Queremos substituir essa função na equação de Schrödinger e encontrar $ \omega $.

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação de Schrödinger, que é $ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} $:
ihbar partial Psipartial t
Multiplicando por $ i\hbar $:
partial Psipartial t = A partialpartial t ( e^-i omega t sin (n pi xa) ) = -i omega A e^-i omega t sin (n pi xa)

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito da equação de Schrödinger, que é $ \hat{H} \Psi $:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de $ \Psi $ em relação a $ x $:
H Psi
Agora, aplicando o operador Hamiltoniano:
Psi

Passo 6

Agora, igualamos os dois lados da equação de Schrödinger:
hbar omega A e^-i omega t sin (n pi xa) = hbar^2 n^2 pi^22m a^2 A e^-i omega t sin (n pi xa)
Podemos simplificar ambos os lados cancelando os termos comuns $ A e^{-i \omega t} \sin \left(\frac{n \pi x}{a}\right) $:
A e^-i omega t sin (n pi xa)

Passo 7

Agora, resolvemos para $ \omega $:
omega

Resposta

O valor de $ \omega $ que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é:
omega

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