Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
Psin(x, t)=A e^-i omega t sin (n pi xa), para 0
onde n=1,2.3, ldots identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por Psi=Psi1+Psi2. Calcule a densidade de probabilidade (|Psi|^2) neste caso. Esta densidade depende do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda para uma partícula livre que está confinada em uma caixa de tamanho $ a $. A função de onda é dada por:
a
Aqui, $ n = 1, 2, 3, ··· $ representa diferentes estados quânticos. O exercício pede para considerar o estado da partícula descrito por $ \Psi = \Psi_{1} + \Psi_{2} $ e calcular a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $. Além disso, queremos saber se essa densidade depende do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar funções de onda e calcular a densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda total $ \Psi $ como a soma das duas funções de onda $ \Psi_{1} $ e $ \Psi_{2} $:
Psi
Aqui, $ \omega_{1} $ e $ \omega_{2} $ são as frequências associadas aos estados $ n = 1 $ e $ n = 2 $, respectivamente.

Passo 3

A densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ é dada pelo produto da função de onda pela sua complexa conjugada:
|Psi|^2
Vamos calcular isso:
|Psi|^2 = Psi^* Psi

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
|Psi|^2 = A^2 e^i omega1 t e^-i omega1 t sin^2 (pi xa) + A^2 e^i omega1 t e^-i omega2 t sin (pi xa) sin (2 pi xa) + A^2 e^i omega2 t e^-i omega1 t sin (2 pi xa) sin (pi xa) + A^2 e^i omega2 t e^-i omega2 t sin^2 (2 pi xa)
Simplificando os termos exponenciais:
|Psi|^2 = A^2 sin^2 (pi xa) + A^2 e^i (omega1 - omega2) t sin (pi xa) sin (2 pi xa) + A^2 e^i (omega2 - omega1) t sin (2 pi xa) sin (pi xa) + A^2 sin^2 (2 pi xa)

Passo 5

Observamos que os termos mistos têm fatores de $ e^{\pm i (\omega_{1} - \omega_{2}) t} $. Vamos reescrever esses termos usando a identidade de Euler para obter termos coseno:
e^pm i (omega1 - omega2) t
Então:
e^i theta + e^-i theta = 2 cos(theta)

Passo 6

Agora, usamos a identidade trigonométrica para multiplicar os senos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso:
sin (pi xa) sin (2 pi xa) = 12 [ cos ( pi xa - 2 pi xa ) - cos ( pi xa + 2 pi xa ) ] = 12 [ cos ( -pi xa ) - cos ( 3 pi xa ) ]
Como $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, temos:
cos(-theta) = cos(theta)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ |\Psi|^{2} $:
|Psi|^2
Simplificando:
|Psi|^2 = A^2 sin^2 (pi xa) + 2 A^2 cos ( (omega1 - omega2) t ) cdot 12 [ cos ( pi xa ) - cos ( 3 pi xa ) ] + A^2 sin^2 (2 pi xa)

Passo 8

Vamos agora lembrar que $ \omega_{n} $ está relacionada à energia do estado $ n $, e para uma partícula na caixa, a energia depende de $ n^{2} $. Portanto, $ \omega_{1} $ e $ \omega_{2} $ são diferentes, o que faz com que a diferença $ \omega_{1} - \omega_{2} $ não seja zero.
Isso significa que o termo $ \cos \left( (\omega_{1} - \omega_{2}) t \right) $ oscila no tempo, indicando que a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ também depende do tempo.

Resposta

A densidade de probabilidade é dada por:
|Psi|^2 = A^2 sin^2 (pi xa) + A^2 sin^2 (2 pi xa) + A^2 cos ( (omega1 - omega2) t ) [ cos ( pi xa ) - cos ( 3 pi xa ) ]
E sim, essa densidade de probabilidade depende do tempo devido ao termo oscilante $ \cos \left( (\omega_{1} - \omega_{2}) t \right) $.

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