Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
onde
identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por
. Calcule a densidade de probabilidade
neste caso. Esta densidade depende do tempo?
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda para uma partícula livre que está confinada em uma caixa de tamanho $ a $. A função de onda é dada por:
Aqui, $ n = 1, 2, 3, ··· $ representa diferentes estados quânticos. O exercício pede para considerar o estado da partícula descrito por $ \Psi = \Psi_{1} + \Psi_{2} $ e calcular a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $. Além disso, queremos saber se essa densidade depende do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar funções de onda e calcular a densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda total $ \Psi $ como a soma das duas funções de onda $ \Psi_{1} $ e $ \Psi_{2} $:
Aqui, $ \omega_{1} $ e $ \omega_{2} $ são as frequências associadas aos estados $ n = 1 $ e $ n = 2 $, respectivamente.
Passo 3
A densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ é dada pelo produto da função de onda pela sua complexa conjugada:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Vamos expandir essa expressão:
Simplificando os termos exponenciais:
Passo 5
Observamos que os termos mistos têm fatores de $ e^{\pm i (\omega_{1} - \omega_{2}) t} $. Vamos reescrever esses termos usando a identidade de Euler para obter termos coseno:
Então:
Passo 6
Agora, usamos a identidade trigonométrica para multiplicar os senos:
Aplicando isso:
Como $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ |\Psi|^{2} $:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora lembrar que $ \omega_{n} $ está relacionada à energia do estado $ n $, e para uma partícula na caixa, a energia depende de $ n^{2} $. Portanto, $ \omega_{1} $ e $ \omega_{2} $ são diferentes, o que faz com que a diferença $ \omega_{1} - \omega_{2} $ não seja zero.
Isso significa que o termo $ \cos \left( (\omega_{1} - \omega_{2}) t \right) $ oscila no tempo, indicando que a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ também depende do tempo.
Resposta
A densidade de probabilidade é dada por:
E sim, essa densidade de probabilidade depende do tempo devido ao termo oscilante $ \cos \left( (\omega_{1} - \omega_{2}) t \right) $.