Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a força com que ele atua sobe uma carga de sinal oposto -q colocada no que seria o centro do círculo fechado. Se o círculo fosse fechado formando um anel com a carga -q no centro, qual seria a força que atuaria sobre -q? Para responder a última pergunta utilize apenas o resultado a primeira pergunta e argumentos geométricos e de simetria.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga Q distribuída de forma uniforme em um fio semicircular com raio
. Precisamos calcular a força que essa distribuição exerce sobre uma carga de sinal oposto,
, colocada no centro do círculo que seria fechado. Depois, vamos imaginar que o círculo está fechado formando um anel completo e determinar a força sobre
, usando o resultado da primeira parte e argumentos geométricos e de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na distribuição uniforme de carga Q no fio semicircular. Distribuição uniforme significa que a densidade linear de carga
é constante ao longo do fio. Podemos calcular
dividindo a carga total Q pelo comprimento do fio semicircular.
Aqui, o comprimento de um semicirculo é
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a força elétrica que essa distribuição exerce sobre a carga
no centro. A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a constante eletrostática ( ) -
é um elemento de carga no fio -
é a distância entre e (nesse caso, ) -
é o vetor unitário na direção da força
Passo 4
Como a carga
está no centro, a força resultante será a soma vetorial de todas as forças de cada elemento
. Devido à simetria do semicirculo, as componentes verticais das forças se cancelam, e apenas a componente horizontal contribui para a força resultante.
Para um elemento
em um ângulo
no semicirculo, a componente horizontal da força é:
Passo 5
Substituindo
(já que ao longo do arco,
e
):
Passo 6
Para encontrar a força total, integramos
de
a
:
A integral de
de
a
é
.
Passo 7
Substituindo
:
Então, a força exercida pela semicircunferência sobre
é:
Passo 8
Agora, se o fio for um anel completo, temos que a distribuição de carga é simétrica em todas as direções ao redor do centro. As componentes horizontais das forças de cada elemento de carga se cancelam devido à simetria, deixando apenas a componente vertical. No entanto, como o anel é completo, não há componente vertical resultante. Portanto, a força total sobre
será zero.
Resposta
A força exercida pela semicircunferência sobre a carga
no centro é:
Quando o círculo é fechado formando um anel completo, a força resultante sobre
no centro é nula.
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