Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a força com que ele atua sobe uma carga de sinal oposto -q colocada no que seria o centro do círculo fechado. Se o círculo fosse fechado formando um anel com a carga -q no centro, qual seria a força que atuaria sobre -q? Para responder a última pergunta utilize apenas o resultado a primeira pergunta e argumentos geométricos e de simetria.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga Q distribuída de forma uniforme em um fio semicircular com raio . Precisamos calcular a força que essa distribuição exerce sobre uma carga de sinal oposto, , colocada no centro do círculo que seria fechado. Depois, vamos imaginar que o círculo está fechado formando um anel completo e determinar a força sobre , usando o resultado da primeira parte e argumentos geométricos e de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na distribuição uniforme de carga Q no fio semicircular. Distribuição uniforme significa que a densidade linear de carga lambda = Qpi a é constante ao longo do fio. Podemos calcular dividindo a carga total Q pelo comprimento do fio semicircular.
Aqui, o comprimento de um semicirculo é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a força elétrica que essa distribuição exerce sobre a carga dF = ke dq cdot (-q)r^2 r no centro. A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²)
  • é um elemento de carga no fio
  • é a distância entre e (nesse caso, )
  • é o vetor unitário na direção da força

Passo 4

Como a carga dFx = dF cdot costheta = ke dq cdot qa^2 costheta está no centro, a força resultante será a soma vetorial de todas as forças de cada elemento . Devido à simetria do semicirculo, as componentes verticais das forças se cancelam, e apenas a componente horizontal contribui para a força resultante.
Para um elemento em um ângulo no semicirculo, a componente horizontal da força é:

Passo 5

Substituindo dFx = ke lambda a dtheta cdot qa^2 costheta = ke lambda qa costheta dtheta (já que ao longo do arco, e ):

Passo 6

Para encontrar a força total, integramos Fx = ke lambda qa integral-pi2^pi2 costheta dtheta de Fx = ke lambda qa cdot 2 a :
A integral de de a é .

Passo 7

Substituindo Fx = ke Qpi a qa cdot 2 = ke 2Qqpi a^2 :
F = ke 2Qqpi a^2
Então, a força exercida pela semicircunferência sobre é:

Passo 8

Agora, se o fio for um anel completo, temos que a distribuição de carga é simétrica em todas as direções ao redor do centro. As componentes horizontais das forças de cada elemento de carga se cancelam devido à simetria, deixando apenas a componente vertical. No entanto, como o anel é completo, não há componente vertical resultante. Portanto, a força total sobre será zero.

Resposta

A força exercida pela semicircunferência sobre a carga F = ke 2Qqpi a^2 no centro é:
Quando o círculo é fechado formando um anel completo, a força resultante sobre no centro é nula.

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