Deduza a equação da continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a equação da continuidade. Isso faz parte da mecânica dos fluidos, mais especificamente da conservação de massa. Para resolver isso, vamos precisar entender como a massa de um fluido se mantém constante enquanto ele flui. Vamos seguir passo a passo para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um volume de controle fixo no espaço pelo qual o fluido está passando. A ideia é analisar como a massa dentro desse volume muda ao longo do tempo. Segundo o princípio da conservação de massa, a taxa de variação da massa dentro do volume de controle deve ser igual à diferença entre a massa que entra e a massa que sai desse volume.

Passo 3

Vamos expressar matematicamente a conservação de massa. A taxa de variação da massa dentro do volume de controle é dada por:
onde é a densidade do fluido.

Passo 4

Agora, a massa que entra e sai do volume de controle através de sua superfície é representada pelo fluxo de massa. O fluxo de massa através da superfície é dado por:
onde é o vetor velocidade do fluido e é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Segundo a conservação de massa, a taxa de variação da massa dentro do volume de controle deve ser igual à massa que entra menos a massa que sai. Então, temos:
O sinal negativo indica que a saída de massa diminui a massa dentro do volume.

Passo 6

Aplicando o teorema de Gauss (ou divergência), podemos transformar a integral de superfície em uma integral de volume:

Passo 7

Como isso deve ser válido para qualquer volume de controle, podemos igualar as expressões dentro das integrais:

Passo 8

Rearranjando os termos, chegamos à equação da continuidade:

Resposta

A equação da continuidade é dada por:

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