Deduza a equação da continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a equação da continuidade. Isso faz parte da mecânica dos fluidos, mais especificamente da conservação de massa. Para resolver isso, vamos precisar entender como a massa de um fluido se mantém constante enquanto ele flui. Vamos seguir passo a passo para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um volume de controle fixo no espaço pelo qual o fluido está passando. A ideia é analisar como a massa dentro desse volume muda ao longo do tempo. Segundo o princípio da conservação de massa, a taxa de variação da massa dentro do volume de controle deve ser igual à diferença entre a massa que entra e a massa que sai desse volume.
Passo 3
Vamos expressar matematicamente a conservação de massa. A taxa de variação da massa dentro do volume de controle
é dada por:
onde
é a densidade do fluido.
Passo 4
Agora, a massa que entra e sai do volume de controle através de sua superfície
é representada pelo fluxo de massa. O fluxo de massa através da superfície é dado por:
onde
é o vetor velocidade do fluido e
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Segundo a conservação de massa, a taxa de variação da massa dentro do volume de controle deve ser igual à massa que entra menos a massa que sai. Então, temos:
O sinal negativo indica que a saída de massa diminui a massa dentro do volume.
Passo 6
Aplicando o teorema de Gauss (ou divergência), podemos transformar a integral de superfície em uma integral de volume:
Passo 7
Como isso deve ser válido para qualquer volume de controle, podemos igualar as expressões dentro das integrais:
Passo 8
Rearranjando os termos, chegamos à equação da continuidade:
Resposta
A equação da continuidade é dada por: