Um carretel de massa
e raio
desce um plano inclinado. Uma corda ideal está enrolada a uma distância
do seu eixo (ver figura) e produz uma força
paralela ao plano inclinado. O ângulo entre o plano inclinado e a horizontal é
. O momento de inércia do carretel em relação ao eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro de massa é
. Sabendo-se que o carretel rola sem deslizar e que
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carretel com massa
e raio
descendo um plano inclinado de
. Tem uma corda enrolada a uma distância
do eixo do carretel, que aplica uma força
. O carretel está rolando sem deslizar, e o momento de inércia é
. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e forças em planos inclinados para calcular a aceleração do carretel.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel:
- Peso (
): Age verticalmente para baixo. - Força de tensão (
): Aplicada pela corda paralela ao plano inclinado. - Força de atrito (
): Atua para impedir o deslize, na direção oposta ao movimento.
Como o carretel rola sem deslizar, a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
) estão relacionadas pela equação
.
Passo 3
Vamos decompor o peso em duas componentes:
- Paralela ao plano:
- Perpendicular ao plano:
A força resultante que causa a aceleração é a diferença entre a componente paralela do peso e a força de tensão:
Além disso, a tensão na corda cria um torque que causa a rotação do carretel:
Como
, podemos substituir
por
:
Sabendo que
, substituímos:
Como
:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Resposta
A aceleração do carretel é
.