Um carretel de massa M e raio R desce um plano inclinado. Uma corda ideal está enrolada a uma distância r=R / 3 do seu eixo (ver figura) e produz uma força F paralela ao plano inclinado. O ângulo entre o plano inclinado e a horizontal é 30^circ. O momento de inércia do carretel em relação ao eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro de massa é M R^2 / 2. Sabendo-se que o carretel rola sem deslizar e que |F|=3 Mg / 8, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carretel com massa M e raio R descendo um plano inclinado de 30^circ. Tem uma corda enrolada a uma distância r = R/3 do eixo do carretel, que aplica uma força F = 3Mg8. O carretel está rolando sem deslizar, e o momento de inércia é I = MR^22. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e forças em planos inclinados para calcular a aceleração do carretel.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel:
  1. Peso ( Mg): Age verticalmente para baixo.
  2. Força de tensão ( F): Aplicada pela corda paralela ao plano inclinado.
  3. Força de atrito ( f): Atua para impedir o deslize, na direção oposta ao movimento.
Como o carretel rola sem deslizar, a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha) estão relacionadas pela equação a = alpha r.

Passo 3

Vamos decompor o peso em duas componentes:
  • Paralela ao plano: Mg sin(30^circ)
  • Perpendicular ao plano: Mg cos(30^circ)
A força resultante que causa a aceleração é a diferença entre a componente paralela do peso e a força de tensão:
Mg sin(30^circ) - F = Ma
Além disso, a tensão na corda cria um torque que causa a rotação do carretel:
tau = F cdot r = I alpha
Como a = alpha r, podemos substituir alpha por a/r:
F cdot r = I cdot ar F r^2 = I a
Sabendo que I = MR^22, substituímos:
F r^2 = MR^22 a a = 2 F r^2MR^2
Como r = R3:
a = 2 F (R3)^2MR^2 = 2 F cdot R^29MR^2 = 2F9M
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar a:
Mg sin(30^circ) - F = Ma Mg cdot 12 - F = Ma Mg2 - 3Mg8 = Ma 4Mg8 - 3Mg8 = Ma Mg8 = Ma a = g8

Resposta

A aceleração do carretel é a = dfracg8.

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