Dois patinadores estão sobre uma pista de gelo de atrito desprezível. Eles estão de mãos dadas e girando em torno do centro de massa do sistema formado por eles, que está inicialmente em repouso. Em um dado instante, os dois se puxam um em direção ao outro, diminuindo a distância entre eles. Sobre esse processo, considere as três afirmativas abaixo:
(I) O momento angular do sistema com relação a qualquer ponto se conserva.
(II) A velocidade angular de rotação dos patinadores aumenta.
(III) A energia cinética é conservada. São corretas as afirmativas: (e) Todas estão corretas
(I) O momento angular do sistema com relação a qualquer ponto se conserva.
(II) A velocidade angular de rotação dos patinadores aumenta.
(III) A energia cinética é conservada. São corretas as afirmativas: (e) Todas estão corretas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois patinadores em uma pista de gelo sem atrito, girando de mãos dadas ao redor do centro de massa que está parado inicialmente. De repente, eles se puxam um para o outro, diminuindo a distância entre eles. A questão apresenta três afirmações sobre esse processo e quer saber quais estão corretas. Vamos precisar entender conceitos de momento angular, velocidade angular e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Afirmação I: O momento angular do sistema com relação a qualquer ponto se conserva.
Primeiro, vamos falar sobre momento angular. O momento angular (
) de um sistema é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia. -
é a velocidade angular.
Como não há atrito na pista de gelo, não existem torques externos agindo no sistema. Segundo a Lei da Conservação do Momento Angular, se não há torque externo, o momento angular total do sistema permanece constante.
Conclusão: A afirmação I está correta.
Passo 3
Afirmação II: A velocidade angular de rotação dos patinadores aumenta.
Sabemos que os patinadores estão puxando um para o outro, o que diminui a distância entre eles. O momento de inércia (
) de duas partículas puntiformes é dado por:
Onde:
-
é a massa de cada patinador. -
é a distância de cada patinador ao centro de massa.
Ao diminuírem a distância (
), o momento de inércia também diminui. Como o momento angular (
) se mantém constante (como vimos na afirmação I), se
diminui,
(velocidade angular) precisa aumentar para que o produto
permaneça o mesmo.
Conclusão: A afirmação II está correta.
Passo 4
Afirmação III: A energia cinética é conservada.
A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Mesmo que o momento angular seja conservado, a energia cinética pode mudar. Vamos analisar:
Como
diminui e
aumenta, substituindo esses na fórmula de
, vemos que a energia cinética aumenta porque a velocidade angular aumenta mais do que a diminuição do momento de inércia.
Além disso, quando os patinadores puxam um para o outro, eles fazem trabalho contra a força de atração interna, transferindo energia para o sistema. Portanto, a energia cinética não é conservada nesse processo; ela aumenta.
Conclusão: A afirmação III está incorreta.
Resposta
Apenas as afirmações I e II estão corretas.