Um carrinho que parte do repouso, desliza sobre um trilho de ar. Neste experimento alunos coletam os seguintes dados usando uma régua para a distância percorrida pelo carrinho e um cronômetro para coletar o tempo empregado em cada distância. Assuma que a incerteza da régua é
e a incerteza do cronômetro é
.
De acordo com o modelo teórico (partícula em movimento retilíneo uniforme), os coeficientes angular e linear da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais representam, respectivamente, a velocidade e a posição inicial do carrinho. (5 pontos)
De acordo com o modelo teórico (partícula em movimento retilíneo uniforme), os coeficientes angular e linear da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais representam, respectivamente, a velocidade e a posição inicial do carrinho. (5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um carrinho que parte do repouso e desliza sobre um trilho sem atrito. Os alunos mediram a distância que o carrinho percorreu usando uma régua e o tempo usando um cronômetro. A incerteza nas medidas da régua é de 0,5 cm e no cronômetro é de 0,2 s. A questão menciona que, de acordo com o modelo teórico de movimento retilíneo uniforme, os coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta aos dados representam, respectivamente, a velocidade e a posição inicial do carrinho. Vamos precisar entender o que é movimento retilíneo uniforme e como relacionar os dados experimentais com esse modelo teórico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é movimento retilíneo uniforme (MRU). No MRU, um objeto se move em linha reta com velocidade constante. A equação que descreve esse movimento é:
Onde:
-
é a posição do objeto em um determinado tempo -
é a velocidade constante -
é a posição inicial
Essa equação é similar à equação de uma reta do primeiro grau na forma:
Onde:
-
é o coeficiente angular (inclinação) -
é o coeficiente linear (intercepto)
Passo 3
Agora, vamos relacionar as duas equações. Se considerarmos que
(posição) é o eixo y e
(tempo) é o eixo x, podemos associar:
- Coeficiente angular (
) com a velocidade ( ): Isso porque a inclinação da reta indica quanto a posição muda por unidade de tempo, ou seja, a velocidade. - Coeficiente linear (
) com a posição inicial ( ): Quando , a posição é igual a , que corresponde ao intercepto da reta com o eixo y.
Passo 4
Para aplicar isso na prática, os alunos devem plotar um gráfico de distância percorrida (
) no eixo y versus o tempo (
) no eixo x. Ao fazer isso, eles obterão uma nuvem de pontos que representam os dados experimentais. A melhor reta que se ajusta a esses pontos pode ser encontrada usando o método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os pontos e a reta.
Passo 5
Com a reta ajustada, os alunos podem identificar o coeficiente angular (
) e o coeficiente linear (
) diretamente do gráfico. A inclinação da reta (
) dá a velocidade do carrinho, e o intercepto (
) indica a posição inicial do carrinho no momento
.
Resposta
Portanto, ao ajustar uma reta aos dados experimentais de distância versus tempo, a inclinação da reta representa a velocidade do carrinho (
) e o intercepto com o eixo y representa a posição inicial (
).
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:
Como a origem do sistema de coordenadas está no topo da colina, o projétil atingirá quando a sua coordenada assumir o valor:
Como a origem do sistema de coordenadas está no topo da colina, o projétil atingirá quando a sua coordenada
Então:
Resolvendo a equação acima para
encontramos:
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