Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura
sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é
e faz um ângulo de
acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como
:
Como a origem do sistema de coordenadas está no topo da colina, o projétil atingirá quando a sua coordenada
assumir o valor:
Então:
Resolvendo a equação acima para
encontramos:
Como a somente a primeira solução é física, temos:
Como a origem do sistema de coordenadas está no topo da colina, o projétil atingirá quando a sua coordenada
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver:
Enunciado Resumido: Um projétil é lançado do topo de uma colina de altura
sobre um vale. A velocidade inicial do projétil é
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Queremos descobrir o tempo que o projétil leva para atingir o fundo do vale, ou seja, quando sua coordenada vertical
atinge
.
Conteúdo da Matéria: Movimento de projétil, que envolve decomposição de vetores, equações de movimento uniformemente acelerado e análise das componentes horizontal e vertical do movimento.
O que vamos precisar:
- Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal (
) e vertical ( ). - Utilizar as equações do movimento uniformemente acelerado para a componente vertical.
- Resolver a equação quadrática resultante para encontrar o tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Isso nos ajuda a entender como o projétil se move em cada direção separadamente.
A componente horizontal da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
A componente vertical da velocidade (
) é:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento vertical do projétil. A posição vertical
em função do tempo é dada pela equação:
Onde:
-
é a posição inicial vertical (no nosso caso, , já que consideramos a origem no topo da colina). -
é a componente vertical da velocidade inicial. -
é a aceleração da gravidade ( ).
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Queremos encontrar o tempo
quando o projétil atinge o fundo do vale, ou seja, quando
. Então, montamos a equação:
Vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação quadrática:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por
:
Passo 5
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação geral é:
Onde:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Analisando as soluções encontradas, temos
e
. O tempo não pode ser negativo no contexto físico, pois isso indicaria um momento antes do lançamento. Portanto, descartamos
.
Resposta
O tempo que o projétil leva para atingir o fundo do vale é: