Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura h=200 m sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é vP=60,0 m / s e faz um ângulo de theta=60,0^circ acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como g=9,80 m / s^2 :
Como a origem do sistema de coordenadas está no topo da colina, o projétil atingirá quando a sua coordenada y assumir o valor:
y(tf)=-h(2 pontos )
Então:
51,96 tf-4,90 tf^2=-200,0(2 ponto )
Resolvendo a equação acima para tf encontramos:
tf=13,6 s ou tf=-3,0 s
Como a somente a primeira solução é física, temos:
tf=13,6 s (2 pontos )

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver:
Enunciado Resumido: Um projétil é lançado do topo de uma colina de altura h = 200,m sobre um vale. A velocidade inicial do projétil é vP = 60,0,m/s, fazendo um ângulo de theta = 60,0^circ com a horizontal. Queremos descobrir o tempo que o projétil leva para atingir o fundo do vale, ou seja, quando sua coordenada vertical y atinge -h = -200,m.
Conteúdo da Matéria: Movimento de projétil, que envolve decomposição de vetores, equações de movimento uniformemente acelerado e análise das componentes horizontal e vertical do movimento.
O que vamos precisar:
  • Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y).
  • Utilizar as equações do movimento uniformemente acelerado para a componente vertical.
  • Resolver a equação quadrática resultante para encontrar o tempo tf.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Isso nos ajuda a entender como o projétil se move em cada direção separadamente.
A componente horizontal da velocidade ( v0x) é dada por:
v0x = vP cdot cos(theta)
Substituindo os valores:
v0x = 60,0,m/s cdot cos(60,0^circ) = 60,0,m/s cdot 0,5 = 30,0,m/s
A componente vertical da velocidade ( v0y) é:
v0y = vP cdot sin(theta)
Substituindo:
v0y = 60,0,m/s cdot sin(60,0^circ) approx 60,0,m/s cdot 0,8660 approx 51,96,m/s

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical do projétil. A posição vertical y(t) em função do tempo é dada pela equação:
y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y0 é a posição inicial vertical (no nosso caso, y0 = 0,m, já que consideramos a origem no topo da colina).
  • v0y é a componente vertical da velocidade inicial.
  • g é a aceleração da gravidade ( g = 9,80,m/s^2).
Substituindo os valores:
y(t) = 0 + 51,96,m/s cdot t - 12 cdot 9,80,m/s^2 cdot t^2
Simplificando:
y(t) = 51,96,t - 4,90,t^2

Passo 4

Queremos encontrar o tempo tf quando o projétil atinge o fundo do vale, ou seja, quando y(tf) = -200,0,m. Então, montamos a equação:
51,96,tf - 4,90,tf^2 = -200,0
Vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação quadrática:
-4,90,tf^2 + 51,96,tf + 200,0 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:
4,90,tf^2 - 51,96,tf - 200,0 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de tf. A equação geral é:
a t^2 + b t + c = 0
Onde:
  • a = 4,90
  • b = -51,96
  • c = -200,0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
tf = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
tf = -(-51,96) pm raiz(-51,96)^2 - 4 cdot 4,90 cdot (-200,0)2 cdot 4,90
Calculando:
tf = 51,96 pm raiz2700,81 + 3920,09,80 = 51,96 pm raiz6620,819,80
tf = 51,96 pm 81,389,80
Isso nos dá duas soluções:
  1. tf = 51,96 + 81,389,80 approx 133,349,80 approx 13,6,s
  2. tf = 51,96 - 81,389,80 approx -29,429,80 approx -3,0,s

Passo 6

Analisando as soluções encontradas, temos tf = 13,6,s e tf = -3,0,s. O tempo não pode ser negativo no contexto físico, pois isso indicaria um momento antes do lançamento. Portanto, descartamos tf = -3,0,s.

Resposta

O tempo que o projétil leva para atingir o fundo do vale é:
tf = 13,6,s

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