Um grupo de turistas descuidados ficaram presos na entrada de uma caverna que fica num platô, o qual se encontra a 100 m acima do nível da superfície da base da montanha que foram escalar. Como as condições atmosféricas impedem de a equipe de resgate subir até o platô. Então, decidiram utilizar um canhão não bélico para enviar suprimentos e remédios via disparo do tipo lançamento oblíquo de projeteis. Contudo, a equipe de resgate descobre que o dispositivo mecânico do canhão está com defeito. Isso significa que o ângulo de disparo só podem ser de 45^circ. Com base nessas informações e desprezando a influência das condições atmosféricas, quais devem ser a velocidade de disparo e a posição horizontal em relação a base da montanha que o canhão deve ter para que consigam enviar os suprimentos e remédios para os turistas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos contou que um grupo de turistas está preso numa caverna a 100 metros acima da base da montanha. A equipe de resgate quer usar um canhão para mandar suprimentos, mas o ângulo de disparo está travado em . Nossa missão é descobrir qual a velocidade que o canhão precisa ter e de que distância horizontal ele deve estar da base para que os suprimentos cheguem até os turistas. Vamos usar lançamento oblíquo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes do movimento do projétil. No lançamento oblíquo, a velocidade inicial pode ser dividida em duas partes:
  • Horizontal:
  • Vertical:
Como o ângulo é , sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos considerar as equações do movimento para a direção horizontal e vertical.
Horizontal:
De
Aqui, De é a distância horizontal que o projétil vai percorrer, e é o tempo de voo.
Vertical:
Onde é a altura que o projétil precisa alcançar, e é a aceleração devida à gravidade.

Passo 4

Vamos substituir os valores de V0x = V0 cdot raiz22 e V0y = V0 cdot raiz22 :
De
100 = V0 cdot raiz22 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2 (2)
Então, nossas equações ficam:
Horizontal:
Vertical:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para t = 2 De:
100 = V0 cdot raiz22 cdot De
Agora, substituímos da equação (3) na equação (2):

Passo 6

Simplificando os termos:
100 = De
100 = De

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para isolar 9,81 De:
V0^2 = 9,81 De

Passo 8

Agora, temos uma relação entre De e . Para resolver esse sistema, podemos assumir que estamos buscando a menor velocidade possível que permita alcançar a altura desejada. Isso ocorre quando a distância horizontal é otimizada.
Para encontrar essa condição, derivamos em relação a e igualamos a zero. Após resolver, encontramos que a distância ideal é o dobro da altura:

Passo 9

Com V0^2 = 9,81 cdot (200)^2200 - 100 = 9,81 cdot 40000100 = 392400100 = 3924 , substituímos na equação de V0 = raiz3924 approx 62,63,m/s :

Resposta

Para que os suprimentos e remédios alcancem os turistas presos na caverna a 100 metros acima da base, o canhão deve ser posicionado a uma distância horizontal de 200 metros da base da montanha e deve disparar os projéteis com uma velocidade inicial de aproximadamente 62,63 metros por segundo.

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