Um grupo de turistas descuidados ficaram presos na entrada de uma caverna que fica num platô, o qual se encontra a 100 m acima do nível da superfície da base da montanha que foram escalar. Como as condições atmosféricas impedem de a equipe de resgate subir até o platô. Então, decidiram utilizar um canhão não bélico para enviar suprimentos e remédios via disparo do tipo lançamento oblíquo de projeteis. Contudo, a equipe de resgate descobre que o dispositivo mecânico do canhão está com defeito. Isso significa que o ângulo de disparo só podem ser de
. Com base nessas informações e desprezando a influência das condições atmosféricas, quais devem ser a velocidade de disparo e a posição horizontal em relação a base da montanha que o canhão deve ter para que consigam enviar os suprimentos e remédios para os turistas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos contou que um grupo de turistas está preso numa caverna a 100 metros acima da base da montanha. A equipe de resgate quer usar um canhão para mandar suprimentos, mas o ângulo de disparo está travado em
. Nossa missão é descobrir qual a velocidade que o canhão precisa ter e de que distância horizontal ele deve estar da base para que os suprimentos cheguem até os turistas. Vamos usar lançamento oblíquo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes do movimento do projétil. No lançamento oblíquo, a velocidade inicial
pode ser dividida em duas partes:
- Horizontal:
- Vertical:
Como o ângulo
é
, sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as equações do movimento para a direção horizontal e vertical.
Horizontal:
Aqui,
é a distância horizontal que o projétil vai percorrer, e
é o tempo de voo.
Vertical:
Onde
é a altura que o projétil precisa alcançar, e
é a aceleração devida à gravidade.
Passo 4
Vamos substituir os valores de
e
:
Então, nossas equações ficam:
Horizontal:
Vertical:
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para
:
Agora, substituímos
da equação (3) na equação (2):
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 8
Agora, temos uma relação entre
e
. Para resolver esse sistema, podemos assumir que estamos buscando a menor velocidade possível
que permita alcançar a altura desejada. Isso ocorre quando a distância horizontal
é otimizada.
Para encontrar essa condição, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Após resolver, encontramos que a distância ideal
é o dobro da altura:
Passo 9
Com
, substituímos na equação de
:
Resposta
Para que os suprimentos e remédios alcancem os turistas presos na caverna a 100 metros acima da base, o canhão deve ser posicionado a uma distância horizontal de 200 metros da base da montanha e deve disparar os projéteis com uma velocidade inicial de aproximadamente 62,63 metros por segundo.