O ponteiro dos minutos de um relógio de parede possui 11,3 cm medidos desde o eixo até a extremidade. Qual é o vetor deslocamento até a sua extremidade (a) desde 1/4 de hora até meia hora, (b) na próxima meia hora e © na próxima hora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um relógio de parede com o ponteiro dos minutos medindo 11,3 cm do centro até a ponta. A pergunta pede para encontrar o vetor deslocamento da ponta desse ponteiro em três situações diferentes:
a) De 1/4 de hora até meia hora,
b) Na próxima meia hora,
c) Na próxima hora.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e movimento circular. Vamos precisar decompor a posição do ponteiro em coordenadas cartesianas e calcular a diferença entre elas para achar o vetor deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as posições do ponteiro em cada momento solicitado. Vamos considerar que o relógio está no plano cartesiano, com o centro no ponto (0,0). Vamos assumir que às 12 horas o ponteiro está apontando para cima no eixo y, às 3 horas no lado positivo do eixo x, às 6 horas para baixo no eixo y, e às 9 horas no lado negativo do eixo x.
Passo 3
a) De 1/4 de hora até meia hora
1/4 de hora é igual a 15 minutos, e meia hora são 30 minutos. Vamos encontrar as posições do ponteiro nesses dois momentos.
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Aos 15 minutos (1/4 de hora): O ponteiro está apontando para as 3 horas, ou seja, no ponto (11,3 cm, 0).
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Aos 30 minutos (meia hora): O ponteiro está apontando para as 6 horas, ou seja, no ponto (0, -11,3 cm).
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor deslocamento que vai da posição aos 15 minutos até a posição aos 30 minutos.
O vetor deslocamento Δ é dado pela diferença das posições finais e iniciais:
Passo 5
Para encontrar a magnitude desse vetor deslocamento, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Portanto, o vetor deslocamento tem magnitude de aproximadamente 16 cm e aponta na direção sudeste, formando um ângulo de 225 graus em relação ao eixo positivo x.
Passo 6
b) Na próxima meia hora
Agora, vamos calcular o vetor deslocamento na próxima meia hora, ou seja, dos 30 minutos até os 60 minutos.
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Aos 30 minutos (meia hora): Posição (0, -11,3 cm).
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Aos 60 minutos (uma hora): O ponteiro volta para as 12 horas, posição (0, 11,3 cm).
Passo 7
Calculando o vetor deslocamento:
A magnitude desse vetor é simplesmente 22,6 cm na direção positiva do eixo y.
Passo 8
c) Na próxima hora
Por fim, vamos calcular o vetor deslocamento na próxima hora, ou seja, dos 60 minutos até os 120 minutos.
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Aos 60 minutos (1 hora): Posição (0, 11,3 cm).
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Aos 120 minutos (2 horas): O ponteiro volta a apontar para as 12 horas, posição (0, 11,3 cm).
Passo 9
Calculando o vetor deslocamento:
A magnitude desse vetor deslocamento é 0 cm, ou seja, não há deslocamento, pois o ponteiro retorna exatamente ao mesmo ponto.
Resposta
a) O vetor deslocamento é
cm com magnitude aproximadamente 16 cm.
b) O vetor deslocamento é
cm com magnitude 22,6 cm.
c) O vetor deslocamento é
cm, ou seja, nenhum deslocamento.