Um carro se move ao longo do eixo x de acordo com a função x(t)=4 t^3-9 t^2+6 t metros.
Qual é a velocidade instantânea nesse instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de um carro ao longo do eixo x é dada pela função x(t) = 4t^3 - 9t^2 + 6t metros. A gente precisa encontrar a velocidade instantânea desse carro em um determinado instante. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a determinar como uma função está mudando em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se x(t) é a posição, então a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dx(t)dt
Isso significa que precisamos derivar a função de posição x(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo da função x(t):
  1. Para o termo 4t^3, a derivada é 12t^2 (usando a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
  2. Para o termo -9t^2, a derivada é -18t.
  3. Para o termo 6t, a derivada é 6.
Então, juntando tudo:
v(t) = 12t^2 - 18t + 6

Resposta

A velocidade instantânea do carro é dada por:
v(t) = 12t^2 - 18t + 6 metros por segundo

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