Uma partícula é confinada a uma caixa tridimensional de lados
e
. Determine os números quânticos
e
para os 10 estados de menor energia da partícula.
Passo 1
Então, galera! O exercício fala sobre uma partícula presa dentro de uma caixa tridimensional, onde os lados da caixa têm comprimentos diferentes: $ L_1 $, $ L_2 = 2L_1 $ e $ L_3 = 3L_1 $. O objetivo é encontrar os números quânticos $ n_1 $, $ n_2 $ e $ n_3 $ que correspondem aos 10 estados de menor energia dessa partícula. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em caixas (também conhecido como “poço quântico”), e usar fórmulas que nos ajudam a calcular as energias permitidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia de uma partícula em uma caixa tridimensional. A energia $ E $ está relacionada aos números quânticos e aos lados da caixa pela seguinte expressão:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ n_1 $, $ n_2 $, $ n_3 $ são os números quânticos que queremos encontrar.
Passo 3
Como os lados da caixa são $ L_2 = 2L_1 $ e $ L_3 = 3L_1 $, podemos substituir esses valores na fórmula da energia:
Isso simplifica a nossa análise, já que tudo está agora em termos de $ L_1 $.
Passo 4
Para encontrar os estados de menor energia, precisamos identificar as combinações de $ n_1 $, $ n_2 $ e $ n_3 $ que minimizam a expressão dentro dos parênteses. Lembrando que os números quânticos $ n_1 $, $ n_2 $, $ n_3 $ são inteiros positivos ($ 1, 2, 3, ··· $).
Passo 5
Vamos começar listando as possíveis combinações de $ n_1 $, $ n_2 $ e $ n_3 $ com valores pequenos, pois queremos os menores valores de energia. Vamos calcular a expressão $ n_1^2 + \frac{n_2^2}{4} + \frac{n_3^2}{9} $ para cada combinação e ordenar os resultados do menor para o maior.
Passo 6
Vamos considerar $ n_1 $, $ n_2 $, $ n_3 $ variando de 1 a 3 inicialmente, pois combinações maiores provavelmente resultarão em energias mais altas. Aqui estão os cálculos:
-
$ n_1 = 1 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 1 $:
-
$ n_1 = 1 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 2 $:
-
$ n_1 = 1 $, $ n_2 = 2 $, $ n_3 = 1 $:
-
$ n_1 = 2 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 1 $:
E assim por diante. Vamos continuar esse processo para todas as combinações possíveis até termos pelo menos 10 estados.
Passo 7
Organizando as combinações e seus valores calculados:
- $ (1,1,1) $ : ~1.361
- $ (1,1,2) $ : ~1.694
- $ (1,2,1) $ : ~2.111
- $ (2,1,1) $ : ~4.361
- $ (1,1,3) $ : $ 1 + 0.25 + \frac{9}{9} = 1 + 0.25 + 1 = 2.25 $
- $ (1,2,2) $ : $ 1 + 1 + \frac{4}{9} \approx 2 + 0.444 = 2.444 $
- $ (2,1,2) $ : $ 4 + 0.25 + \frac{4}{9} \approx 4 + 0.25 + 0.444 = 4.694 $
- $ (2,2,1) $ : $ 4 + 1 + \frac{1}{9} \approx 5 + 0.111 = 5.111 $
- $ (1,3,1) $ : $ 1 + \frac{9}{4} + \frac{1}{9} \approx 1 + 2.25 + 0.111 = 3.361 $
- $ (2,1,3) $ : $ 4 + 0.25 + 1 = 5.25 $
Passo 8
Agora, vamos ordenar esses valores do menor para o maior para identificar os 10 menores:
- $ (1,1,1) $ : ~1.361
- $ (1,1,2) $ : ~1.694
- $ (1,2,1) $ : ~2.111
- $ (1,1,3) $ : 2.25
- $ (1,2,2) $ : 2.444
- $ (1,3,1) $ : 3.361
- $ (2,1,1) $ : ~4.361
- $ (2,1,2) $ : ~4.694
- $ (2,2,1) $ : ~5.111
- $ (2,1,3) $ : 5.25
Passo 9
Com base nessa ordenação, os 10 primeiros estados de menor energia e seus respectivos números quânticos são:
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 1 $
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 2 $
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 2 $, $ n_3 = 1 $
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 3 $
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 2 $, $ n_3 = 2 $
- $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 3 $, $ n_3 = 1 $
- $ n_1 = 2 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 1 $
- $ n_1 = 2 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 2 $
- $ n_1 = 2 $, $ n_2 = 2 $, $ n_3 = 1 $
- $ n_1 = 2 $, $ n_2 = 1 $, $ n_3 = 3 $
Resposta
Os números quânticos $ (n_1, n_2, n_3) $ para os 10 estados de menor energia da partícula são:
- $ (1, 1, 1) $
- $ (1, 1, 2) $
- $ (1, 2, 1) $
- $ (1, 1, 3) $
- $ (1, 2, 2) $
- $ (1, 3, 1) $
- $ (2, 1, 1) $
- $ (2, 1, 2) $
- $ (2, 2, 1) $
- $ (2, 1, 3) $